Question

已知△ABC是邊長為3的等邊三角形，點D、E分別是邊AB，AC上的點，且滿足

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

．將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，并使得平面A₁DE⊥平面BCED．
（1）求證：A₁D⊥EC；
（2）設(shè)P為線段BC上的一點，試求直線PA₁與平面A₁BD所成角的正切的最大值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）等邊△ABC的邊長為3，且

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

，求得AD和AE的值．進而由余弦定理得DE，根據(jù)AD²+DE²=AE²，判斷AD⊥DE折疊后A₁D⊥DE，根據(jù)平面A₁DE⊥平面BCED，又平面利用線面垂直的判定定理推斷出A₁D⊥平面BCED，進而可知A₁D⊥EC．
（2）作PH⊥BD于點H，連結(jié)A₁H、A₁P，由（1）有A₁D⊥平面BCED，而PH?平面BCED，推斷出A₁D⊥PH，又A₁D∩BD=D，進而根據(jù)線面垂直的判定定理知PH⊥平面A₁BD，推斷出∠PA₁H是直線PA₁與平面A₁BD所成的角，設(shè)出PB，分別表示出BH，PH，DH進利用勾股定理求得A₁H的表達(dá)式，繼而在Rt△PA₁H中，表示出tan∠PA₁H，對x進行分類討論，利用函數(shù)的思想求得tan∠PA₁H的最大值．

解答： 證明：（1）因為等邊△ABC的邊長為3，且

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

，
所以AD=1，AE=2．在△ADE中，∠DAE=60°，
由余弦定理得DE=

12+22-2×1×2×cos60°

=

3

．
因為AD²+DE²=AE²，
所以AD⊥DE．
折疊后有A₁D⊥DE，
因為平面A₁DE⊥平面BCED，又平面A₁DE∩平面BCED=DE，
A₁D?平面A₁DE，A₁D⊥DE，所以A₁D⊥平面BCED
故A₁D⊥EC．
（2）如圖，作PH⊥BD于點H，連結(jié)A₁H、A₁P，
由（1）有A₁D⊥平面BCED，而PH?平面BCED，
所以A₁D⊥PH，又A₁D∩BD=D，所以PH⊥平面A₁BD，
所以∠PA₁H是直線PA₁與平面A₁BD所成的角，
設(shè)PB=x（0≤x≤3），則BH=

x

2

，PH=

3 x

2

，DH=BD-BH=2-

x

2

所以A₁H=

DH2+A1D2

=

x2-2x+5 4

所以在Rt△PA₁H中，tan∠PA₁H=

PH

A1H

=

3 x

x2-8x+20

①若x=0，則tan∠PA₁H=

PH

A1H

=

3 x

x2-8x+20

=0，
②若x≠0則tan∠PA₁H=

PH

A1H

=

3 x

x2-8x+20

=

3

1- 8 x + 20 x2

令

1

x

=t（t≥

1

3

），y=20t²-8t+1
因為函數(shù)y=20t²-8t+1在t≥

1

3

上單調(diào)遞增，所以y_min=20×

1

9

-

8

3

+1=

5

9

所以tan∠PA₁H的最大值為

3

5 9

=

3 15

5

（此時點P與C重合）

點評：本題主要考查了線面垂直的判定定理和性質(zhì)，二面角的求法．解題的關(guān)鍵是找到或作出所求二面角．