Question

平面內(nèi)有n條直線，其中沒(méi)有兩條平行，也沒(méi)有三條或三條以上過(guò)同一點(diǎn).設(shè)這n條直線將平面分割成的區(qū)域數(shù)為f(n),探求f(n),并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

Answer 1

解析：寫出f(n)的前四項(xiàng)，分析規(guī)律，猜測(cè)求f(n).

當(dāng)n=1時(shí)，顯然f(1)=2,

當(dāng)n=2時(shí)，f(2)=2+2=4,

當(dāng)n=3時(shí)，f(3)=4+3=7,

當(dāng)n=4時(shí)，f(4)=f(3)+4,

由此猜想：f(n)=f(n-1)+n,

把n取2，3，4，…，n所得到的n-1個(gè)式子累加，得f(n)=2+2+3+4+…+n=1+n(n+1)，

即f(n)=n(n+1)+1.

證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，f(1)=12×1×(1+1)+1=2,結(jié)論顯然成立.

（2）假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即平面內(nèi)滿足條件的k條直線把平面分成的區(qū)域個(gè)數(shù)為f(k)=12k(k+1)+1，則當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1條直線與前k條直線有k個(gè)交點(diǎn)，這k個(gè)交點(diǎn)將第k+1條直線分成k+1段，而每一段又將它所在區(qū)域一分為二，這樣f(k+1)比f(wàn)(k)多k+1.

∴f(k+1)=f(k)+k+1=k(k+1)+1+k+1=(k+1)(k+2)+1.

∴當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立.

由（1）（2）,知對(duì)任意n∈N^*結(jié)論都成立.

∴f(n)=n(n+1)+1.