Question

平面內(nèi)有n條直線，其中無任何兩條平行，也無任何三條共點，求證：這n條直線把平面分割成

1

2

（n²+n+2）塊．

Answer 1

分析：直接利用數(shù)學歸納法的證題步驟證明，（1）驗證n=1時命題的正確性；（2）通過假設(shè)n=k時命題成立，證明n=k+1時命題也正確即可．

解答：證明：（1）當n=1時，1條直線把平面分成2塊，又

1

2

（1²+1+2）=2，命題成立．
（2）假設(shè)n=k時，k≥1命題成立，即k條滿足題設(shè)的直線把平面分成

1

2

（k²+k+2）塊，
那么當n=k+1時，第k+1條直線被k條直線分成k+1段，
每段把它們所在的平面塊又分成了2塊，因此，增加了k+1個平面塊．
所以k+1條直線把平面分成了

1

2

（k²+k+2）+k+1=

1

2

[（k+1）²+（k+1）+2]塊，
這說明當n=k+1時，命題也成立．
由（1）（2）知，對一切n∈N*，命題都成立．

點評：本題是基礎(chǔ)題，考查數(shù)學歸納法的證明步驟，數(shù)學歸納法的應(yīng)用，注意n=k和n=k+1時的證明方法，是本類題型的證明策略．