Question

已知為實常數(shù)，函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有兩個不同的零點；
（Ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）求證：且.（注：為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

（1）詳見解析；（2），證明詳見解析.

試題分析：本題主要考查導數(shù)的運算，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及不等式等基礎知識，考查函數(shù)思想、分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，先對函數(shù)求導，由于函數(shù)有定義域，所以恒大于0，所以對進行討論，當時，導數(shù)恒正，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，當時，的根為，所以將定義域從斷開，變成2部分，分別判斷函數(shù)的單調(diào)性；第二問，（1）通過第一問的分析，只有當時，才有可能有2個零點，需要討論函數(shù)圖像的最大值的正負，當最大值小于等于0時，最多有一個零點，當最大值大于0時，還需要判斷在最大值點兩側(cè)是否有縱坐標小于0的點，如果有就符合題意，（2）由（1）可知函數(shù)的單調(diào)性，只需判斷出和的正負即可，經(jīng)過分析，因為,所以.只要證明:就可以得出結(jié)論，所以下面經(jīng)過構(gòu)造函數(shù)證明，只需求出函數(shù)的最值即可.
試題解析：（I）的定義域為．其導數(shù)．   1分
①當時，，函數(shù)在上是增函數(shù)；    2分
②當時，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，．
所以在是增函數(shù)，在是減函數(shù).     4分
（II）①由（I）知，當時，函數(shù)在上是增函數(shù)，不可能有兩個零點
當時，在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，此時為函數(shù)的最大值，
當時，最多有一個零點，所以，解得， 6分
此時，，且，

令，則，所以在上單調(diào)遞增，
所以，即
所以的取值范圍是       8分
②證法一：
.設 . .
當 時， ；當 時， ；
所以在 上是增函數(shù)，在 上是減函數(shù). 最大值為 .
由于 ，且 ，所以 ，所以.
下面證明：當時， .設 ，
則 .在 上是增函數(shù)，所以當時，
 .即當時，..
由得 .所以.
所以 ，即，，.
又 ，所以，.
所以 .
即.
由，得.所以， .        12分
②證法二：
由（II）①可知函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù).
所以.故 
第二部分:分析:因為,所以.只要證明:就可以得出結(jié)論
下面給出證明：構(gòu)造函數(shù)：
則：
所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).,則,又
于是. 又由(1)可知
.即        12分