Question

2．設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）、g（x）滿足$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x，且f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，則有窮數(shù){$\frac{f（n）}{g（n）}$+2n-1}（n∈N^*）的前8項和為（　�。�

• A． 574
• B． 576
• C． 1088
• D． 1090

Answer 1

分析 首先由已知條件結(jié)合導(dǎo)數(shù)大于0判斷出a^x為實數(shù)集上的增函數(shù)，由此得到a＞1，再由$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，求出a的值，然后利用等比（等差）數(shù)列的前n項和公式求解即可．

解答 解：由[$\frac{f（x）}{g（x）}$]′=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$，
而f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），所以[$\frac{f（x）}{g（x）}$]′＞0，
即函數(shù)$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x為實數(shù)集上的增函數(shù)，
則a＞1．
又$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，解得a=2．
則數(shù)列{$\frac{f（n）}{g（n）}$+2n-1}（n∈N^*）為數(shù)列{2ⁿ+2n-1}，
此數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列
和1為首項，2為公差的等差數(shù)列的和，
即有前8項和為$\frac{2（1-{2}^{8}）}{1-2}$+$\frac{1}{2}$（1+15）×8=574．
故選A．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系，考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則，訓(xùn)練了利用等比（等差）數(shù)列的前n項和公式求值，是中檔題．