Question

定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），對任意的m，n∈（0，+∞）都有f（m•n）=f（m）+f（n）成立，且當x＞1時，f（x）＜0．
（1）試求f（1）的值；
（2）證明：f（

1

x

）=-f（x）對任意x∈（0，+∞）都成立；
（3）證明：f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（4）當f（2）=-

1

2

時，解不等式f（x-3）＞-1．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：證明題

分析：（1）直接令m=n=1，即可求出f（1）的值；
（2）令m=x，n=

1

x

，結(jié)合f（m•n）=f（m）+f（n），從而可證明結(jié)論；
（3）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即可；
（4）根據(jù)f（4）=-1，可得f（x-3）＞f（4），然后利用函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．

解答： 解：（1）∵f（m•n）=f（m）+f（n）對任意的m，n∈（0，+∞）都成立，
∴令m=n=1得，f（1）=2f（1）∴f（1）=0，
（2）由題意及（1）可知，f(

1

x

)+f(x)=f(

1

x

•x)=f(1)=0，
∴f(

1

x

)=-f(x)；
（3）證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(

1

x1

)=f(

x2

x1

)，
且

x2

x1

＞1，而當x＞1時，f（x）＜0∴f(

x2

x1

)＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0∴f（x₂）＜f（x₁），
即函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（4）當f(2)=-

1

2

時，f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=-1 
∴原不等式可化為   f（x-3）＞f（4）由（3）知，0＜x-3＜4，
解得：3＜x＜7∴原不等式 的解集為（3，7）．

點評：本題考點是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查靈活賦值求值的能力以及靈活變形證明函數(shù)單調(diào)性的能力．