Question

已知函數f（x）=xlnx，g（x）=-

1

2

x²+

a

2

x-

3

2

（Ⅰ）求f（x）在x=e處的切線方程；
（Ⅱ）在函數f（x）與g（x）的公共定義域內f（x）的圖象始終在g（x）圖象的上方，求實數a的范圍；
（Ⅲ）是否存在實數s，t（0＜s＜t），使x∈[s，t]時，函數h（x）=

2f(x)+3

x

+x-4圖象恒在x軸上方且值域為[2lns，2lnt]？若存在，求出s，t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導f′（x）=lnx+1，f′（e）=lne+1=2，又由f（e）=e；從而寫出切線方程；
（Ⅱ）函數f（x）與g（x）的公共定義域為（0，+∞）；從而得x∈（0，+∞）時，f（x）-g（x）＞0恒成立；即a＜2lnx+x+

3

x

，從而化為函數的最值問題；
（Ⅲ）h（x）=

2f(x)+3

x

+x-4=2lnx+x+

3

x

-4，可知h（x）的圖象在區(qū)間[s，t]上恒在x軸上方時1∉[s，t]；從而分類討論．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1，f′（e）=lne+1=2，
又f（e）=e；
故f（x）在x=e處的切線方程為y-e=2（x-e）；
故切線方程為2x-y-e=0；
（Ⅱ）函數f（x）與g（x）的公共定義域為（0，+∞）；
由題意知，x∈（0，+∞）時，f（x）-g（x）＞0恒成立；
即a＜2lnx+x+

3

x

，
令m（x）=2lnx+x+

3

x

，
則m′（x）=

2

x

+1-

3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

，
故m（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數，
故m（x）≥m（1）=4；
故a＜4；
（Ⅲ）h（x）=

2f(x)+3

x

+x-4
=2lnx+x+

3

x

-4，
則由（Ⅱ）知，h（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數，
∵h（1）=0＜s，且h（x）的圖象在區(qū)間[s，t]上恒在x軸上方，
∴1∉[s，t]；
①若0＜s＜t＜1，則lns＜0，lnt＜0，不合題意；
②若1＜s＜t，由題意得，

h(s)=2lns h(t)=2lnt

；
則s，t是方程x+

3

x

-4=0的解，
而方程x+

3

x

-4=0的解為1，3；
故不合題意，
故不存在．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題化為最值問題的處理方法，屬于中檔題．