Question

己知F₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F₁且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若△ABF₂是等腰直角三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，則容易求得A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

b2

a

，根據(jù)已知條件便知|F₁F₂|=|AF₁|，所以得到2c=

b2

a

，b²換上a²-c²得到2ac=a²-c²．所以可得到(

c

a

)2+2•

c

a

-1=0，解關(guān)于

c

a

的方程即得該橢圓的離心率．

解答： 解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），焦點(diǎn)F₁（c，0），F(xiàn)₂（-c，0），如圖：
將x=c帶入橢圓方程得

c2

a2

+

y2

b2

=1；
解得y=±

b2

a

；
∵|F₁F₂|=|AF₁|；
∴2c=

b2

a

；
∴2ac=a²-c²兩邊同除以a²并整理得：(

c

a

)2+2•

c

a

-1=0；
解得

c

a

=

2

-1，或-1-

2

（舍去）；
∴這個(gè)橢圓的離心率是

2

-1．
故答案為：

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的焦點(diǎn)及焦距，橢圓離心率的概念，b²=a²-c²，以及數(shù)形結(jié)合解題的方法，解一元二次方程．