【題目】已知函數(shù)f(x)=exx2+2ax.

(1)a=1,求曲線yf(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

(2)f(x)R上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1) exy+1=0;(2) [ln 2-1,+∞).

【解析】試題分析:

(1)由函數(shù)的解析式可得f′(1)=e,f(1)=e+1,據(jù)此可得切線方程為exy+1=0.

(2)f′(x)=ex-2x+2a,則原問題等價于axR上恒成立,令g(x)=x,求導(dǎo)可得g(x)(-∞,ln 2)上單調(diào)遞增,在(ln 2,+∞)上單調(diào)遞減,則g(x)maxg(ln 2)=ln 2-1,實數(shù)a的取值范圍為[ln 2-1,+∞).

試題解析:

(1)函數(shù)的解析式:f(x)=exx2+2x,

f′(x)=ex-2x+2,f′(1)=e,又f(1)=e+1,

∴所求切線方程為y-(e+1)=e(x-1),即exy+1=0.

(2)f′(x)=ex-2x+2a,f(x)R上單調(diào)遞增,∴f′(x)≥0R上恒成立,

axR上恒成立,令g(x)=x

g′(x)=1-,令g′(x)=0,則xln 2,

(-∞,ln 2)上,g′(x)>0;在(ln 2,+∞)上,g′(x)<0,

g(x)(-∞,ln 2)上單調(diào)遞增,在(ln 2,+∞)上單調(diào)遞減,

g(x)maxg(ln 2)=ln 2-1,aln 2-1,∴實數(shù)a的取值范圍為[ln 2-1,+∞).

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④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.
其中的真命題是(寫出所有真命題的序列).

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