Question

已知四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC=2，且底面ABCD是邊長為1的正方形．E是最短的側(cè)棱PC上的動點．
（Ⅰ）求證：P、A、B、C、D五點在同一個球面上，并求該球的體積；
（Ⅱ）如果點F在線段BD上，DF=3BF，EF∥平面PAB，求

PE

EC

的值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,球的體積和表面積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）設(shè)PA的中點為M，證明CM=PM=AM=BM=DM，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）連接CF并延長交AB于K，連接PK，則利用線面平行的性質(zhì)，可得EF∥PK，利用DF=3BF，AB∥CD，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)PA的中點為M，則
∵△PAC為直角三角形，
∴CM=PM=AM=

6

2

．
設(shè)正方形ABCD的中心為點O，則OM∥PC，OM=1且PC⊥底面ABCD，
∴OM⊥底面ABCD，
∵O為BD的中點，
∴BM=DM=

6

2

，
∴CM=PM=AM=BM=DM，
∴P、A、B、C、D五點在以M為球心，半徑為

6

2

的同一個球面上，球的體積為

4

3

π•(

6

2

)3=

6

π；
（Ⅱ）解：連接CF并延長交AB于K，連接PK，則
∵EF∥平面PAB，EF?面PCK，面PCK∩平面PAB=PK，
∴EF∥PK，
∵DF=3BF，AB∥CD，
∴CF=3KF，
∵EF∥PK，
∴CE=3PE，
∴

PE

EC

=

1

3

．

點評：本題考查線面平行的性質(zhì)，考查線面垂直，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．