Question

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=AD=2，E，F(xiàn)分別是棱AD，PC的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求證：EF⊥平面PBC；
（Ⅲ）求二面角E-PC-D的大�。�

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間位置關系與距離,空間角,空間向量及應用

分析：（Ⅰ）設G是PB的中點，連接AG，GF，由已知條件能推導出AEFG是平行四邊形，從而能夠證明EF∥平面PAB．
（Ⅱ）由已知條件推導出AG⊥PB，PA⊥BC，BC⊥AB，從而得到BC⊥AG，由此能夠證明EF⊥平面PBC．
（Ⅲ） 以AB，AD，AP分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，利用向量法能求出二面角E-PC-D的大�。�

解答： （本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：設G是PB的中點，連接AG，GF
∵E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點，∴GF

∥ .

.

1

2

BC，AE

∥ .

.

1

2

BC
∴GF

∥ .

.

AE，∴AEFG是平行四邊形，∴EF

∥ .

.

AG…（2分）
∵EF?平面PAB，AG?平面PAB，
∴EF∥平面PAB…（3分）
（Ⅱ）∵PA=AB，∴AG⊥PB，…（4分）
∵PA⊥ABCD，∴PA⊥BC，
又∵BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥AG，…（6分）
∵PB與BC相交，∴AG⊥平面PBC，
∵EF∥AG，∴EF⊥平面PBC．…（7分）
（Ⅲ） 以AB，AD，AP分別為x軸、y軸、z軸，
建立空間直角坐標系A-xyz，…（8分）
∵PA=AD=2，
∴E（0，1，0），C（2，2，0），P（0，0，2），F(xiàn)（1，1，1），
設H是PD的中點，連接AH，∵AG⊥平面PBC，
∴同理可證AH⊥平面PCD，∴

AH

是平面PCD的法向量，

AH

=(0，1，1)…（9分）

EC

=(2，1，0)，

EP

=(0，-1，2)
設平面PEC的法向量

m

=(x，y，z)，則

m • EC =2x+y=0 m • EP =-y+2z=0

，
令y=2，則x=-1，z=1，∴

m

=(-1，2，1)…（12分）
∴cos＜

m

，

AH

＞=

m • AH

| m || AH |

=

3

6 • 2

=

3

2

．…（13分）
∴二面角E-PC-D的大小為30°．…（14分）

點評：本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的證明，考查二面角大小的求法，解題時要注意向量法的合理運用．