Question

已知函數(shù)f（x）=x³-

3(t+1)

2

x²+3tx+1（t∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與直線y=9x-2平行，求t的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=f′（x）+3lnx-3x²，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若存在x₀∈（0，2），使得f（x₀）是f（x）在x∈[0，2]上的最小值，求t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與直線y=9x-2平行，建立方程，即可求t的值；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=f′（x）+3lnx-3x²的導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）分類討論，確定函數(shù)在x∈[0，2]上的單調(diào)性，利用存在x₀∈（0，2），使得f（x₀）是f（x）在x∈[0，2]上的最小值，即可求t的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-3（t+1）x+3t，…（1分）
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與直線y=9x-2平行，
所以f'（2）=9，3×2²-3（t+1）×2+3t=9，
∴t=-1，即t的值為-1．     …（4分）
（Ⅱ）g（x）=f'（x）+3lnx-3x²=3x²-3（t+1）x+3t+3lnx-3x²=-3（t+1）x+3t+3lnxg′(x)=

3

x

-3(t+1)=3[

1

x

-(t+1)]，…（5分）
①當(dāng) t+1≤0時(shí)，即 t≤-1時(shí)，g'（x）＞0，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng) t+1＞0時(shí)，即 t＞-1時(shí)，x∈(0，

1

t+1

)時(shí)，g'（x）＞0；x∈(

1

t+1

，+∞)時(shí)，g'（x）＜0，
即函數(shù)g（x）在(0，

1

t+1

)上單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）在(

1

t+1

，+∞)上單調(diào)遞減，
綜上，當(dāng)t≤-1時(shí)，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)t＞-1時(shí)，函數(shù)g（x）在(0，

1

t+1

)上單調(diào)遞增，
函數(shù)g（x）在(

1

t+1

，+∞)上單調(diào)遞減    …（8分）
（Ⅲ）f'（x）=3x²-3（t+1）x+3t，令f'（x）=0得x=1，x=t
①當(dāng)t≤0時(shí)，f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，2）單調(diào)遞增，
∴?x₀=1，使f（1）是f（x）在x∈[0，2]上的最小值，f(x)min=f(1)=

1

2

+

3

2

t…（9分）
②當(dāng)0＜t＜1時(shí)，f（x）在（0，t）和（1，2）單調(diào)遞增，在（t，1）單調(diào)遞減，∴

f(1)≤f(0) 0＜t＜1

，

1- 3(t+1) 2 +3t+1≤1 0＜t＜1

，解得0＜t≤

1

3

當(dāng)0＜t≤

1

3

時(shí)，使f（1）是f（x）在x∈[0，2]上的最小值；  …（10分）
③當(dāng)t=1時(shí)，f'（x）=3（x-1）²≥0，f（x）在（0，2）單調(diào)遞增，
不存在x₀∈（0，2），使得f（x₀）是f（x）在x∈[0，2]上的最小值；  …（11分）
④當(dāng)1＜t＜2時(shí)，f（x）在（0，1）和（t，2）單調(diào)遞增，在（1，t）單調(diào)遞減，

f(t)≤f(0) 1＜t＜2

，

t3- 3(t+1) 2 t2+3t2+1≤1 1＜t＜2

，

t≥3 1＜t＜2

無實(shí)數(shù)解；  …（12分）
⑤當(dāng)t≥2時(shí)，f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，2）單調(diào)遞減，
∴x₀∈（0，2）函數(shù)f（x）沒有最小值．     …（13分）
綜上，t∈(-∞，

1

3

]時(shí)，存在x₀∈（0，2），使得f（x₀）是f（x）在x∈[0，2]上的最小值．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求切線方程、函數(shù)單調(diào)區(qū)間等方法，考查運(yùn)算求解、分類討論、探究解決問題的能力，考查函數(shù)與方程、不等式思想、轉(zhuǎn)化思想．