Question

已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n滿足：2S_n+a_n=1
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

2an+1

(1+an)(1+an+1)

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜

1

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用遞推式可得：an=

1

3

an-1．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）由（I）可得b_n=

2( 1 3 )n+1

(1+ 1 3n )(1+ 1 3n+1 )

=

1

3n+1

-

1

3n+1+1

，；利用“裂項(xiàng)求和”即可得出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，進(jìn)而得到證明．

解答： （I）解：∵2S_n+a_n=1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1+a_n-1=1，
∴2a_n+a_n-a_n-1=0，化為an=

1

3

an-1．
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁+a₁=1，∴a₁=

1

3

．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為

1

3

．
∴an=(

1

3

)n．
（II）證明：b_n=

2an+1

(1+an)(1+an+1)

=

2( 1 3 )n+1

(1+ 1 3n )(1+ 1 3n+1 )

=

2•3n

(1+3n)(1+3n+1)

=

1

3n+1

-

1

3n+1+1

，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=(

1

3+1

-

1

32+1

)+(

1

32+1

-

1

33+1

)+…+(

1

3n+1

-

1

3n+1+1

)
=

1

4

-

1

3n+1+1

＜

1

4

．
∴T_n＜

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”、不等式的證明，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．