Question

7．函數(shù)f（x）=4sinωx•cos（ωx+$\frac{π}{6}$）+1（ω＞0），其圖象上有兩點A（s，t），B（s+2π，t），其中-2＜t＜2，線段AB與函數(shù)圖象有五個交點．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[x₁，x₂]和[x₃，x₄]上單調(diào)遞增，在[x₂，x₃]上單調(diào)遞減，且滿足等式x₄-x₃=x₂-x₁=$\frac{2}{3}$（x₃-x₂），求x₁、x₄所有可能取值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)的誘導公式化簡即可得答案；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的最值即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=4sinωx•cos（ωx+$\frac{π}{6}$）+1=$4sinωx•（\frac{\sqrt{3}}{2}cosωx-\frac{1}{2}sinωx）+1$
=$2\sqrt{3}sinωxcosωx+（1-2si{n}^{2}ωx）$=$\sqrt{3}sin2ωx+cos2ωx$=$2sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，
由于|AB|=2π，且線段AB與函數(shù)f（x）圖象有五個交點，
因此$2T=2×\frac{2π}{2ω}=2π$，故ω=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，函數(shù)f（x）=$2sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，由題意知${x}_{3}-{x}_{2}=\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，
因此x₄-x₃=x₂-x₁=$\frac{2}{3}$（x₃-x₂）=$\frac{π}{3}$．即${x}_{1}={x}_{2}-\frac{π}{3}$，${x}_{4}={x}_{3}+\frac{π}{3}$．
∵函數(shù)f（x）在[x₁，x₂]上單調(diào)遞增，在[x₂，x₃]上單調(diào)遞減，
∴f（x）在x₂處取得最大值，即$f（{x}_{2}）=2sin（2{x}_{2}+\frac{π}{6}）$=2．
$2{x}_{2}+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ$，即${x}_{2}=\frac{π}{6}+kπ$．
∴${x}_{1}={x}_{2}-\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}+kπ-\frac{π}{3}=-\frac{π}{6}+kπ（k∈Z）$．
${x}_{4}={x}_{3}+\frac{π}{3}$=${x}_{2}+\frac{π}{2}+\frac{π}{3}=kπ+π（k∈Z）$．

點評 本題考查了正弦函數(shù)的圖象，考查了三角函數(shù)的最值以及函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．