Question

（本小題共14分）  

已知拋物線(xiàn)P：x²=2py (p>0)．

（Ⅰ）若拋物線(xiàn)上點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為．

（�。┣髵佄锞�(xiàn)的方程；

（ⅱ）設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為E，過(guò)E作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，求此切線(xiàn)方程；

（Ⅱ）設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F的動(dòng)直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)分別交拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于C，D兩點(diǎn)，求證：以CD為直徑的圓過(guò)焦點(diǎn)F．

Answer 1

（本小題共14分）  

解：（Ⅰ）（ⅰ）由拋物線(xiàn)定義可知，拋物線(xiàn)上點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離與到準(zhǔn)線(xiàn)距離相等，

         即到的距離為3；

         ∴ ，解得．

∴ 拋物線(xiàn)的方程為．          ………………4分

（ⅱ）拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)與y軸交點(diǎn)為，

顯然過(guò)點(diǎn)的拋物線(xiàn)的切線(xiàn)斜率存在，設(shè)為，切線(xiàn)方程為．

由，  消y得，………………6分

，解得．       ………………7分

∴切線(xiàn)方程為．          ………………8分

（Ⅱ）直線(xiàn)的斜率顯然存在，設(shè)：，

設(shè)，，

由    消y得 ．   且．

∴ ，；

∵ ， ∴ 直線(xiàn)：，                              

與聯(lián)立可得， 同理得．    ………………10分

∵ 焦點(diǎn)，

∴ ，，    ………………12分

∴

∴  以為直徑的圓過(guò)焦點(diǎn)．    ………………14分