Question

E是長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長CC₁所在直線上一點(diǎn)，C₁E=CC₁=BC=

1

2

AB=1．
（1）求異面直線D₁E與B₁C所成角的余弦值；
（2）求點(diǎn)A到直線B₁E的距離；
（3）求直線AC與平面D₁EB₁所成的角；
（4）求兩平面B₁D₁E與ACB₁所形成的銳二面角的余弦值；
（5）求點(diǎn)A到平面D₁EB₁的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由AB₁∥D₁E，知∠AB₁C是異面直線D₁E與B₁C所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線D₁E與B₁C所成角的余弦值．
（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出A到直線B₁E的距離．
（3）求出平面D₁B₁E的法向量，利用向量法能求出直線AC與平面D₁EB₁所成的角．
（4）求出平面D₁B₁E的法向量和平面ACB₁的法向量利用向量法能求出兩平面B₁D₁E與ACB₁所形成的銳二面角的余弦值．
（5）由

D1A

=（1，0，-1），平面D₁B₁E的法向量

n

=（2，-1，2），利用向量法能求出點(diǎn)A到平面D₁EB₁的距離．

解答： 解：（1）∵E是長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長CC₁所在直線上一點(diǎn)，
C₁E=CC₁=BC=

1

2

AB=1，
∴AB₁∥D₁E，
∴∠AB₁C是異面直線D₁E與B₁C所成角（或所成角的補(bǔ)角），
∵AB₁=

4+1

=

5

，B1C=

1+1

=

2

，
AC=

4+1

=

5

，
∴cos∠AB₁C=

5+2-5

2× 5× 2

=

10

10

．
∴異面直線D₁E與B₁C所成角的余弦值為

10

10

．
（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，
DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意知A（1，0，0），
B₁（1，2，1），E（0，2，2），
∴

EA

=（1，-2，-2），

EB1

=（1，0，-1），
∴A到直線B₁E的距離：
d=|

EA

|•

1-[cos＜ EA ， EB1 ＞]2

=3×

1-( 1+2 3× 2 )2

=

3 2

2

．
（3）∵D₁（0，0，1），
E（0，2，2），C（0，2，0），
∴

D1B1

=（1，2，0），

D1E

=（0，2，1），

AC

=（-1，2，0），
設(shè)平面D₁B₁E的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • D1B1 =x+2y=0 n • D1E =2y+z=0

，取x=2，得

n

=（2，-1，2），
設(shè)直線AC與平面D₁EB₁所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

AC

，

n

＞|=|

-2-2

5 ×3

|=

4 5

15

．
∴直線AC與平面D₁EB₁所成的角為arcsin

4 5

15

．
（4）平面D₁B₁E的法向量

n

=（2，-1，2），
設(shè)平面ACB₁的法向量

m

=(a，b，c)，

AC

=(-1，2，0)，

AB1

=(0，2，1)，
則

m • AC =-a+2b=0 m • AB1 =2b+c=0

，取b=1，得

m

=（2，1，-2），
兩平面B₁D₁E與ACB₁所形成的銳二面角為α，
則cosα=|cos＜

m

，

n

＞|=|

4-1-4

3×3

|=

1

9

．
∴兩平面B₁D₁E與ACB₁所形成的銳二面角的余弦值為

1

9

．
（5）∵

D1A

=（1，0，-1），平面D₁B₁E的法向量

n

=（2，-1，2），
∴點(diǎn)A到平面D₁EB₁的距離：
d′=

| D1A • n |

| n |

=

|2+0-2|

3

=0．

點(diǎn)評：本題考查異面直線所成的角的余弦值、點(diǎn)到直線的距離、直線與平面所成的角、二面角的余弦值、點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．