Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有a_n=5S_n+1成立，記．
（I）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）記c_n=b_2n-b_2n-1（n∈N^*），設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：對(duì)任意正整數(shù)n都有；

（III）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為R_n．已知正實(shí)數(shù)λ滿(mǎn)足：對(duì)任意正整數(shù)nR_n≤λ_n恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=5a₁+1，∴
又∵a_n=5a_n+1，a_n+1=5a_n+1+1
∴a_n+1-a_n=5a_n+1，即
∴數(shù)列a_n成等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比是
∴
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
∴
=
又，∴
當(dāng)n=1時(shí)，
當(dāng)n≥2時(shí)，
=


（Ⅲ）由（Ⅰ）知
一方面，已知R_n≤λn恒成立，取n為大于1的奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k+1（k∈N⁺）
則R_n=b₁+b₂+…+b_2k+1
=
=
＞4n-1
∴λn≥R_n＞4n-1，即（λ-4）n＞-1對(duì)一切大于1的奇數(shù)n恒成立
∴λ≥4否則，（λ-4）n＞-1只對(duì)滿(mǎn)足的正奇數(shù)n成立，矛盾．
另一方面，當(dāng)λ=4時(shí)，對(duì)一切的正整數(shù)n都有R_n≤4n
事實(shí)上，對(duì)任意的正整數(shù)k，有

=
=
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m（m∈N⁺）
則R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-1+b_2n）
＜8m=4nw、w、w、k、s、5、u、c、o、m
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m-1（m∈N⁺）
則R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-3+b_2n-2）+b_2n-1
＜8（m-1）+4=8m-4=4n
∴對(duì)一切的正整數(shù)n，都有R_n≤4n
綜上所述，正實(shí)數(shù)λ的最小值為4
分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件能導(dǎo)出a_n+1-a_n=5a_n+1，即，所以，∴．
（Ⅱ）由，知=，當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n≥2時(shí)，
．
（Ⅲ）由知R_n=b₁+b₂+…+b_2k+1==＞4n-1．由此入手能推導(dǎo)出正實(shí)數(shù)λ的最小值為4．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)、考查化歸思想、分類(lèi)整合思想，以及推理論證、分析與解決問(wèn)題的能力．