已知函數(shù)f(x)=2lnx-x2(x>0).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與最值;
(2)若方程2xlnx+mx-x3=0在區(qū)間[
1e
,e]
內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;  (其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
(3)如果函數(shù)g(x)=f(x)-ax的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,求證:g'(px1+qx2)<0(其中,g'(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù),正常數(shù)p,q滿足p+q=1,q>p)
分析:(1)由f′(x)=
2
x
-2x=
2(1-x)(1+x)
x
,x>0,知當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.由此能求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與最值.
(2)方程2xlnx+mx-x3=0化為-m=2lnx-x2,由f(x)在區(qū)間[
1
e
,e]
上的最大值為-1,f(
1
e
)=-2-
1
e2
,f(e)=2-e2,f(e)<f(
1
e
)
.知f(x)在區(qū)間[
1
e
,e]
上的最小值為-2-
1
e2
.由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(3)由g′(x)=
2
x
-2x-a
,又f(x)-ax=0有兩個(gè)實(shí)根x1,x2,知
2lnx1-x12-ax1=0
2lnx2-x22-ax2=0.
兩式相減,得2(lnx1-lnx2)-(x12-x22)=a(x1-x2)由此入手能夠證明:
x2-x1
px1+qx2
+ln
x1
x2
<0
.g′(px1+qx2)<0.
解答:解:(1)∵f′(x)=
2
x
-2x=
2(1-x)(1+x)
x
,x>0,
∴當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
∴當(dāng)x=1時(shí),f(x)有極大值,也是最大值,即為-1,但無最小值.
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞);最大值為-1,但無最小值.
(2)方程2xlnx+mx-x3=0化為-m=2lnx-x2,由(1)知,f(x)在區(qū)間[
1
e
,e]
上的最大值為-1,f(
1
e
)=-2-
1
e2
,f(e)=2-e2,f(e)<f(
1
e
)

∴f(x)在區(qū)間[
1
e
,e]
上的最小值為-2-
1
e2

故-m=2lnx-x2在區(qū)間[
1
e
,e]
上有兩個(gè)不等實(shí)根需滿足-2-
1
e2
≤-m<-1
,
1<m≤2+
1
e2
,∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(1,2+
1
e2
]

(3)∵g′(x)=
2
x
-2x-a
,又f(x)-ax=0有兩個(gè)實(shí)根x1,x2,
2lnx1-x12-ax1=0
2lnx2-x22-ax2=0.
兩式相減,得2(lnx1-lnx2)-(x12-x22)=a(x1-x2
a=
2(lnx1-lnx2)
x1-x2
-(x1+x2),(x1>0,x2>0)

于是g/(px1+qx2)=
2
px1+qx2
-2(px1+qx2)-
2(lnx1-lnx2)
x1-x2
+(x1+x2)

=
2
px1+qx2
-
2(lnx1-lnx2)
x1-x2
+(2p-1)(x2-x1)

∵q>p,∴2q≥1,∵2p≤1,∴(2p-1)(x2-x1)<0.
要證:g′(px1+qx2)<0,只需證:
2
px1+qx2
+
2(lnx1-lnx2)
x2-x1
<0.
只需證:
x2-x1
px1+qx2
+ln
x1
x2
<0
.(*)
x1
x2
=t∈(0,1)
,∴(*)化為
1-t
pt+q
+lnt<0

只證u(t)=lnt+
1-t
pt+q
<0
即可.u/(t)=
1
t
+
-(pt+q)-(1-t)•p
(pt+q)2
=
1
t
-
1
(pt+q)2
=
(pt+q)2-t
t(pt+q)2

=
p2(t-1)(t-
q2
p2
)
t(pt+q)2
q2
p2
>1,0<t<1
,
∴t-1<0.∴u′(t)>0,∴u(t)在(0,1)上單調(diào)遞增,∴u(t)<u(1)=0
∴u(t)<0,∴lnt+
1-t
pt+q
<0

即:
x2-x1
px1+qx2
+ln
x1
x2
<0
.∴g′(px1+qx2)<0.
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用,具有一定的難度,解題時(shí)要注意挖掘題設(shè)中的隱含條件.
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1
x
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