Question

已知直線l：mx-2y+2m=0（m∈R）和橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），橢圓C的離心率為

2

2

，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)形成四邊形的面積為2

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）當(dāng)m=2時(shí)，設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，M為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PM長(zhǎng)度的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由離心率e=

2

2

，2ab=2

2

，能求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由 

y= m 2 x+m x2 2 +y2=1

，得：（1+

m2

2

）x²+2m²x+2m²-2=0．由此利用根的判別式能求出-

2

＜m＜

2

．
（3）直線l為：x-y+2=0，P（0，2），設(shè)M（x，y）滿足

x2

2

+y2=1，則|PM|²=x²+（y-2）²=-（y+2）²+10，由-1≤y≤1，能求出|MP|最大值．

解答： 解：（1）由離心率e=

2

2

，得b=c=

2

2

a，
又因?yàn)?ab=2

2

，所以a=

2

，b=1，
所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1．（5分）
（2）由 

y= m 2 x+m x2 2 +y2=1

，消y得：（1+

m2

2

）x²+2m²x+2m²-2=0．
所以△=4m4-4(1+

m2

2

)(2m2-2)＞0，可化為m²-2＜0，
解得-

2

＜m＜

2

．（9分）
（3）由（2）得直線l為：x-y+2=0，
設(shè)x=0，則y=2，所以P（0，2）．（11分）
設(shè)M（x，y）滿足

x2

2

+y2=1，
則|PM|²=x²+（y-2）²=2-2y²+（y-2 ）²=-y²-4y+6
=-（y+2）²+10，（13分）
因?yàn)?1≤y≤1，
所以當(dāng)y=-1時(shí)，|MP|取最大值3．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查線段長(zhǎng)的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式和配方法的合理運(yùn)用．