Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=2，前n項和為S_n，且-a₂，S_n，2a_n+1成等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)條件得：2S_n=2a_n+1-a₂，令n=1求出a₂的值，再由當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1得遞推式，由遞推式可判斷{a_n}是的等比數(shù)列，從而可求a_n．

解答： 解：∵-a₂，S_n，2a_n+1成等差數(shù)列，
∴2S_n=2a_n+1-a₂，
當(dāng)n=1時，2S₁=2a₂-a₂，把a₁=2代入得，a₂=4，
∴2S_n=2a_n+1-a₂為：2S_n=2a_n+1-4  ①，
當(dāng)n≥2時，2S_n-1=2a_n-4  ②，
①-②得，2a_n=2a_n+1-2a_n，則a_n+1=2a_n，
當(dāng)n=1時，也滿足上式，
∴{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ．

點評：本題考查等差中項的性質(zhì)、等比數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系．