Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）與過焦點且斜率為1的直線交于A，B兩點，若|AB|=2．
（1）求拋物線的方程；
（2）過點P（1，

2p

）作兩條直線PE，PF交拋物線于點E、F，若兩直線互相垂直，求證：EF恒過定點，并求出此點的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,拋物線的標準方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設直線AB：y=x-

p

2

，聯立方程消去y，得到x²-3px+

p2

4

=0，運用韋達定理和拋物線的定義，即可求出p，從而得到方程；
（2）可設E（y₁²，y₁），F（y₂²，y₂），且P（1，1），由PE與PF垂直，得

PE

•

PF

=0即有y₁y₂=-（y₁+y₂）-2，當y₁+y₂≠0時，寫出直線方程，化簡判斷直線恒過定點（2，-1）；當y₁+y₂=0時，化簡得到直線EF：x=2，即可求出定點坐標．

解答： （1）解：由拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為（

p

2

，0），
設直線AB：y=x-

p

2

，
由

y2=2px y=x- p 2

得x²-3px+

p2

4

=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=3p，
由拋物線的定義得，|AB|=x₁+x₂+p=4p，
又|AB|=2，則p=

1

2

，
即拋物線方程是y²=x；
（2）證明：由題設可設E（y₁²，y₁），F（y₂²，y₂），且P（1，1），
由PE與PF垂直，得

PE

•

PF

=0，即（y₁-1）（y₂-1）+（y₁²-1）（y₂²-1）=0，
即（y₁-1）（y₂-1）[1+（y₁+1）（y₂+1）]=0，
即有y₁y₂=-（y₁+y₂）-2，
當y₁+y₂≠0時，直線EF：y-y₁=

1

y1+y2

（x-y₁²）．
即y=

1

y1+y2

（x+y₁y₂）=

1

y1+y2

[x-（y₁+y₂）-2]，
則直線恒過定點（2，-1）．
當y₁+y₂=0時，y₁=-y₂，由y₁y₂=-（y₁+y₂）-2=-2，
y₁²=2，直線EF：x=2，
故EF恒過定點，此點的坐標為（2，-1）．

點評：本題考查拋物線的方程、定義和性質，考查直線與拋物線的位置關系，考查聯立方程消去一個變量運用韋達定理，及直線恒過定點的問題，屬于中檔題．