Question

已知函數(shù)f（x）=

2-ax

a-1

（a≠1）．
（1）若a＞0，則f（x）的定義域為

 

；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：（1）由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，結(jié)合a的范圍求解函數(shù)的定義域；
（2）分a＞0，a=0，a＜0三種情況分析，當(dāng)a＞0時，根式內(nèi)部的函數(shù)為一次函數(shù)，且為減函數(shù)，開方不改變單調(diào)性，只需在區(qū)間（0，1]上根式有意義，且a-1大于0即可；當(dāng)a=0時為常數(shù)函數(shù)，不滿足題意；當(dāng)a＜0時，根式在區(qū)間（0，1]上有意義且為增函數(shù)，而a-1＜0，滿足題意．

解答：解：（1）由2-ax≥0，得ax≤2，
∵a＞0，∴x≤

2

a

．
∴a＞0時，f（x）的定義域為(-∞，

2

a

]；
（2）當(dāng)a＜0時，a-1＜0，-a＞0，函數(shù)g（x）=

2-ax

在（0，1]上是增函數(shù)，且2-ax＞0恒成立，
∴f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)；
當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）=-

2

為常數(shù)函數(shù)，不滿足題意；
當(dāng)a＞0時，函數(shù)t=2-ax為減函數(shù)，則g（x）=

2-ax

為減函數(shù)，要滿足函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，
則

a-1＞0 2-a≥0

，解得：1＜a≤2．
綜上，滿足f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)的實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪（1，2]．
故答案為：（1）(-∞，

2

a

]；（2）（-∞，0）∪（1，2]．

點評：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，訓(xùn)練了分類討論的解題思想方法，屬中高檔題．