Question

①已知鈍二面角α-l-β的大小為θ，

u

，

v

分別是平面α，β的法向量則cosθ=-|cos（

u

，

v

）|，
②圓x²+（y+1）²=3繞直線kx-y-1=0旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積是4π，
③圓錐底面半徑為

3

，母線長為2，則過圓錐頂點的截面面積的最大值為

3

④已知A，B，C，D四點共面，

OA

=a_n

OB

-a_n-1

OC

-

OD

，又數(shù)列{a_n}中，a₁=-11，則數(shù)列{a_n}的前n項和S_n有最小值-36．
正確的是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型

分析：由二面角的大小與兩法向量的夾角互補，可判斷①；根據(jù)圓繞直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到球，運用球的體積公式即可判斷②；根據(jù)過圓錐頂點的軸截面的頂角是過圓錐頂點的截面中頂角最大的角，若為銳角，則軸截面的面積最大，若為鈍角，則面積最大的是直角三角形的面積，從而判斷判斷③；根據(jù)四點共面的條件：
若A，B，C，D四點共面，

OA

=α

OB

+β

OC

+γ

OD

，則α+β+γ=1，再由等差數(shù)列的定義，求出數(shù)列的通項，根據(jù)數(shù)列的增減性即可得前n項和的最小值，從而判斷④．

解答： 解：①鈍二面角α-l-β的大小為θ，則

π

2

＜θ＜π，cosθ＜0，θ與夾角（

u

，

v

）互補，
故cosθ=-|cos（

u

，

v

）|，即①正確；
②圓x²+（y+1）²=3的圓心為（0，-1），半徑為

3

，直線kx-y-1=0恒過（0，-1），
即直線為圓的對稱軸，圓繞直線旋轉(zhuǎn)一周得到球，其半徑為

3

，故體積為

4

3

π•(

3

)3=4

3

π，故②錯；
③圓錐的軸截面是腰長為2，底邊為2

3

的等腰三角形，其頂角為120°，則過圓錐頂點的截面面積的最大值為

1

2

×2×2=2，故③錯；
④已知A，B，C，D四點共面，

OA

=a_n

OB

-a_n-1

OC

-

OD

，則a_n-a_n-1-1=1，即a_n-a_n-1=2，又a₁=-11，
故數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，a_n=-11+2（n-1）=2n-13，當n≥7時，a_n＞0，當n≤6時，a_n＜0，故S₆最小，且為

1

2

×（-11-1）×6=-36．故④正確．
故答案為：①④．

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查二面角的大小與兩法向量夾角的關(guān)系，過圓錐頂點的截面面積最大問題，以及等差數(shù)列前n項和的最值問題，記熟一些基本結(jié)論是迅速解題的關(guān)鍵．