Question

已知關(guān)于x的方程lnx=mx，x∈（0，a），若存在a，m，使此方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則稱實(shí)數(shù)對(duì)（a，m）為此方程的“D-S-P”，則在（

1

2

，-

1

e

），（

e

，

1

3 e

），（2e，

2ln2

e

），（e²，

5

2e2

）中，“D-S-P”點(diǎn)有（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：當(dāng)l與C相切時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₀=e，切線斜率為m=

1

e

，只要a＞e，

lna

a

＜m＜

1

e

即可（

lna

a

=

lna-0

a-0

為（a，lna）與原點(diǎn)連線的斜率）．

解答： 解：由題意，如圖所示，
當(dāng)l與C相切時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₀=e，切線斜率為m=

1

e

，
∴只要a＞e，

lna

a

＜m＜

1

e

即可（

lna

a

=

lna-0

a-0

為（a，lna）與原點(diǎn)連線的斜率）．
對(duì)于（

1

2

，-

1

e

），∵-

1

e

＜0，∴（

1

2

，-

1

e

）不是“D-S-P”點(diǎn)；
對(duì)于（

e

，

1

3 e

），∵

e

＜e，∴（

e

，

1

3 e

）不是“D-S-P”點(diǎn)；
對(duì)于（2e，

2ln2

e

），∵

2ln2

e

＞

1

e

，∴（2e，

2ln2

e

）不是“D-S-P”點(diǎn)；
對(duì)于（e²，

5

2e2

），∵e²＞e，

lna

a

=

2

e2

=

4

2e2

＜

5

2e2

＜

1

e

，∴（e²，

5

2e2

）是“D-S-P”點(diǎn)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、含參數(shù)的存在性問(wèn)題，考查新定義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．