Question

【題目】已知函數(shù).

（1）試確定的取值范圍，使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；

（2）若為自然數(shù)，則當取哪些值時，方程在上有三個不相等的實數(shù)根，并求出相應的實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)零點確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)為某個單調(diào)區(qū)間的子集得的取值范圍，（2）結(jié)合三次函數(shù)圖像確定的取值范圍：當,且時，方程在上有可能有三個不等實根，再根據(jù)端點值大小確定實數(shù)的滿足的條件： ，最后解不等式可得實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）因為，

由或,由，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

欲使在上為單調(diào)函數(shù)，則.

（2）由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故當或時，方程在上不可能有三個不等實根，

所以,且.

當,且時，方程在上有三個不等實根，

只需滿足即可.

因為，且，

因而，

所以，即，

綜上所述，當,且時，滿足題意，此時實數(shù)的取值范圍是.