Question

已知函數(shù)．

（I）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性（為自然對數(shù)的底）；

（II）記為的導函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（I）若,當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

           當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

若,則,函數(shù)在上單調(diào)遞減.

（II） 。

【解析】本試題主要是考查了導數(shù)的在研究函數(shù)中的運用。判定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，以及函數(shù)的極值問題的綜合運用

（1）由已知函數(shù)得到導函數(shù)，然后對于參數(shù)a分類討論得到其單調(diào)區(qū)間，注意討論的完備性。

（2）要是函數(shù)在給定區(qū)間存在極值，說明了導數(shù)值為零的點在該點左右兩側(cè)函數(shù)值異號，那么借助于概念分析求解。

解：（I）        …………1分

若,當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

           當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，…………5分

若,則,函數(shù)在上單調(diào)遞減.                …………7分

（II） ，   ，  …………8分

方法一：函數(shù)在區(qū)間上存在極值

等價為關于方程在上有變號實根

……11分        在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

          …………14分

 當時，，不存在極值  ……15分

 方法二：   等價為關于方程在上有變號實根。

⑴   關于方程在上有兩個不相等實數(shù)根；

                       …………10分

⑵關于方程在上有一個實數(shù)根；

                    …………12分

時，的解為

 符合題意            …………13分

當時，的解為

均不符合題意  (舍)………14分    綜上所述，．………15分