Question

已知直線l：y=kx+k+1，拋物線C：y²=4x，定點(diǎn)M（1，1）．
（I）當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)F時(shí)，求點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)N的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)N是否在拋物線C上；
（II）當(dāng)k（k≠0）變化且直線l與拋物線C有公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（a，1）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Q（x₀，y₀），求x₀關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式x₀=f（k）；若P與M重合時(shí)，求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)拋物線方程可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程求得k，設(shè)點(diǎn)N（m，n）根據(jù)M與N的對(duì)稱性聯(lián)立方程，求得m和n，可得N的坐標(biāo)，把N的坐標(biāo)代入拋物線方程，結(jié)果等式不成立，進(jìn)而可判斷點(diǎn)N不在拋物線C上．
（2）直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去x，根據(jù)判別式大于等于0，求得k的范圍，根據(jù)P，Q的對(duì)稱聯(lián)立方程求得x₀的表達(dá)式，根據(jù)P與M重合時(shí)a=1，根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性和奇偶性求得x₀的范圍．

解答：解：（I）由焦點(diǎn)F（1，0）在l上，得k=-

1

2

，∴l(xiāng)：y=-

1

2

x+

1

2

設(shè)點(diǎn)N（m，n）則有：

( n-1 m-1 )(- 1 2 )=-1 m+1 2 +2 n+1 2 =1

，
解得

m= 1 5 n=- 3 5

，
∴N(

1

5

，-

3

5

)
∵

4

5

≠(-

3

5

)2，
N點(diǎn)不在拋物線C上．
（2）把直線方程x=

y

k

-

1

k

-1(k≠0)代入拋物線方程得：ky²-4y+4k+4=0，
∵相交，∴△=16（-k²-k+1）≥0，
解得

-1- 5

2

≤k≤

-1+ 5

2

且k≠0.
由對(duì)稱得

y0-1 x0-a •k=-1 y0+1 2 =k x0+a 2 +k+1

解得x0=

a(1-k2)-2k2

k2+1

(-

1+ 5

2

≤k≤

-1+ 5

2

，且k≠0)．
當(dāng)P與M重合時(shí)，a=1
∴f(k)=x0=

1-3k2

k2+1

=-3+

4

k2+1

(-

1+ 5

2

≤k≤

-1+ 5

2

，且k≠0)，
∵函數(shù)x₀=f（x）（k∈R）是偶函數(shù)，且k＞0時(shí)單調(diào)遞減．
∴當(dāng)k=

-1- 5

2

時(shí)，(x0)min=-

5+2 5

5

，

lim

k→0

x0=1，x0∈[-

5+2 5

5

，1)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用及拋物線與直線的關(guān)系．此類題是高考�？碱愋�，平時(shí)應(yīng)加強(qiáng)練習(xí)．