【題目】如圖,在四棱錐中,ABCD為矩形,是以為直角的等腰直角三角形,平面平面ABCD.
(1)證明:平面平面PBC;
(2)為直線PC的中點(diǎn),且,求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見詳解;(2).
【解析】
(1)由ABCD為矩形,得,再由面面垂直的性質(zhì)可得平面PAB,則,結(jié)合,由線面垂直的判定可得平面PAD,進(jìn)一步得到平面平面PBC;
(2)取AB中點(diǎn)O,分別以OP,OB所在直線為x,y軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面MAD與平面MBD的一個法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值,再由平方關(guān)系求得二面角的正弦值.
(1)證明:為矩形,,
平面平面ABCD,平面平面,
平面PAB,則,
又,,
平面PAD,而平面PBC,
平面平面PBC,即證.
(2)取AB中點(diǎn)O,分別以OP,OB所在直線為x,y軸建立空間直角坐標(biāo)系,
由,是以為直角的等腰直角三角形,
得:,,,,
,,.
設(shè)平面MAD的一個法向量為,
由可得,
取,得;
設(shè)平面MBD的一個法向量為,
由可得,
取,得.
.
設(shè)二面角的平面角為,
則.
二面角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的多面體ABCDEF滿足:正方形ABCD與正三角形FBC所在的兩個平面互相垂直,FB∥AE且FB=2EA.
(1)證明:平面EFD⊥平面ABFE;
(2)求二面角E﹣FD﹣C的余弦值.
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【題目】已知函數(shù),是實(shí)數(shù).
(1)當(dāng)時,求證:在定義域內(nèi)是增函數(shù);
(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別是,橢圓上短軸的一個端點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為;
(1)求橢圓的方程;
(2)過作垂直于軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)(點(diǎn)在第二象限),是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點(diǎn),若,求證:直線的斜率為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)在R上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),當(dāng)x>0時,x2f'(x)>﹣2xf(x)成立,若x∈R,e2xf(ex)﹣a2x2f(ax)>0恒成立,則a的取值范圍是_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知公差不為零的等差數(shù)列中,,且,,成等比數(shù)列,
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列滿足,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若不等式對一切恒成立,求的取值范圍.
(3)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求證:對任意正整數(shù)n,都有成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某蔬菜批發(fā)商經(jīng)銷某種新鮮蔬菜(以下簡稱蔬菜),購入價為200元/袋,并以300元/袋的價格售出,若前8小時內(nèi)所購進(jìn)的蔬菜沒有售完,則批發(fā)商將沒售完的蔬菜以150元/袋的價格低價處理完畢(根據(jù)經(jīng)驗(yàn),2小時內(nèi)完全能夠把蔬菜低價處理完,且當(dāng)天不再購進(jìn)).該蔬菜批發(fā)商根據(jù)往年的銷量,統(tǒng)計了100天蔬菜在每天的前8小時內(nèi)的銷售量,制成如下頻數(shù)分布條形圖.
(1)若某天該蔬菜批發(fā)商共購入6袋蔬菜,有4袋蔬菜在前8小時內(nèi)分別被4名顧客購買,剩下2袋在8小時后被另2名顧客購買.現(xiàn)從這6名顧客中隨機(jī)選2人進(jìn)行服務(wù)回訪,則至少選中1人是以150元/袋的價格購買的概率是多少?
(2)以上述樣本數(shù)據(jù)作為決策的依據(jù).
(i)若今年蔬菜上市的100天內(nèi),該蔬菜批發(fā)商堅持每天購進(jìn)6袋蔬菜,試估計該蔬菜批發(fā)商經(jīng)銷蔬菜的總盈利值;
(ii)若明年該蔬菜批發(fā)商每天購進(jìn)蔬菜的袋數(shù)相同,試幫其設(shè)計明年的蔬菜的進(jìn)貨方案,使其所獲取的平均利潤最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣6ρcosθ+5=0,曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
(1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程,并說明是什么曲線?
(2)若曲線C1與C2相交于A、B兩點(diǎn),求|AB|的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)、點(diǎn)及拋物線.
(1)若直線過點(diǎn)及拋物線上一點(diǎn),當(dāng)最大時求直線的方程;
(2)軸上是否存在點(diǎn),使得過點(diǎn)的任一條直線與拋物線交于點(diǎn),且點(diǎn)到直線的距離相等?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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