Question

已知F₁、F₂是橢圓C：

x2

4

+y2=1的兩個焦點，P為橢圓C在第一象限上的一點，且

PF1

⊥

PF2

．則P到x=

5 3

3

的距離為

 

．

Answer 1

分析：根據橢圓的方程算出它的焦點為F₁（-

3

，0）、F₂（

3

，0）．設P（m，n），可得

PF1

、

PF2

的坐標，從而將

PF1

⊥

PF2

轉化為

PF1

•

PF2

=0，得到關于m、n的一個方程，結合點P在橢圓上聯解得到m、n的值，進而得到P的坐標，即可算出點P到x=

5 3

3

的距離．

解答：解：∵橢圓C：

x2

4

+y2=1中，a²=4且b²=1，
∴c=

a2-b2

=

3

，可得焦點為F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）．
設P的坐標為（m，n），可得

PF1

=（-

3

-m，-n），

PF2

=（

3

-m，-n）．
∵

PF1

⊥

PF2

，∴

PF1

•

PF2

=（-

3

-m）（

3

-m）+n²=0，即m²+n²=3，…①
又∵點P在橢圓C上，∴

m2

4

+n2=1，…②
聯解①②，得m=

2 3

3

、n=

3

3

（舍負），可得P的坐標為（

2 3

3

，

3

3

）．
因此點P到x=

5 3

3

的距離為|

5 3

3

-

2 3

3

|=

3

．
故答案為：

3

點評：本題給出橢圓上的點P對兩個焦點的張角等于90度，求P到已知直線的距離．著重考查了向量的數量積及其運算性質、橢圓的標準方程與簡單性質等知識，屬于中檔題．