Question

如圖所示，在⊙O中，AB與CD是夾角為60°的兩條直徑，E、F分別是⊙O與直徑CD上的動點，若

OE

•

BF

+λ

OA

•

OC

=0，則λ的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應用

分析：根據(jù)題意，建立直角坐標系，用坐標表示B、C、E、F，計算

OE

•

BF

與

OA

•

OC

，求出λ的表達式，求出λ的取值范圍即可．

解答： 解：設⊙O的半徑為r，以O為原點，OB為x軸建立直角坐標系，如圖所示；
則B（r，0），C（

1

2

r，-

3

2

r），
設E（rcosα，rsinα），α∈（0，π）；
∴

OF

=μ

OC

=μ（

1

2

r，-

3

2

r）=（

1

2

μr，-

3

2

μr），其中μ∈[-1，1]；
∴

BF

=（

1

2

μr-r，-

3

2

μr），
∴

OE

•

BF

=（rcosα，rsinα）•（

1

2

μr-r，-

3

2

μr）=r²（

1

2

μ-1）cosα-

3

2

μr²sinα；

OA

•

OC

=（-r0）•（

1

2

r，-

3

2

r）=-

1

2

r²；
∵

OE

•

BF

+λ

OA

•

OC

=0，
∴λ=-

OE • BF

OA • OC

=（μ-2）cosα-

3

μsinα=

(μ-2)2+3μ2

sin（α+θ）=

4(μ- 1 2 )2+3

sin（α+θ）；
又μ∈[-1，1]，∴

3

≤

4(μ- 1 2 )2+3

≤2

3

，
∴-2

3

≤

4(μ-1)2+3

sin（α+θ）≤2

3

；
∴-2

3

≤λ≤2

3

，
即λ的取值范圍是[-2

3

，2

3

]．
故答案為：[-2

3

，2

3

]．

點評：本題考查了平面向量的應用問題，也考查了求函數(shù)的最值問題以及三角函數(shù)的恒等變換問題，是較難的題目．