【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的焦距為,直線截圓與橢圓所得的弦長之比為,橢圓軸正半軸的交點(diǎn)分別為.

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)設(shè)點(diǎn))為橢圓上一點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,直線分別交軸于點(diǎn),.試判斷是否為定值?若是求出該定值,若不是定值,請說明理由.

【答案】(1);(2)是,定值為4

【解析】

1)由焦距可知c的值,直線截圓的弦長是2a,截橢圓的弦長由直線和橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理可以求出,根據(jù)兩段弦長之比為可以求出a,即得;(2A點(diǎn)坐標(biāo)是橢圓軸正半軸的交點(diǎn),可以由(1)得出,點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,分別求出直線AB和直線AC的方程,可得兩直線與x軸的交點(diǎn)M,N的坐標(biāo),最后得出為定值。

1)依題意:,,直線與圓相交弦長為直徑.

又∵,∴弦長為,

∴有.,∴求得.

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:.

2)由(1)可知,點(diǎn)的坐標(biāo)為,

直線的方程為,令,得.因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,所以.

所以直線的方程為,令,得.

.

又∵點(diǎn)在橢圓上,所以,即.

是否為定值,求得定值為4.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.

1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;

2)直線軸的交點(diǎn)為,經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn),若,求直線的傾斜角.

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【題目】如圖,在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1ECF1.

1)求兩條異面直線AC1BE所成角的余弦值;

2)求直線BB1與平面BED1F所成角的正弦值.

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【題目】某居民小區(qū)為緩解業(yè)主停車難的問題,擬對小區(qū)內(nèi)一塊扇形空地進(jìn)行改建.如圖所示,平行四邊形區(qū)域?yàn)橥\噲,其余部分建成綠地,點(diǎn)在圍墻弧上,點(diǎn)和點(diǎn)分別在道路和道路上,且米,,設(shè)

(1)求停車場面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并指出的取值范圍;

(2)當(dāng)為何值時(shí),停車場面積最大,并求出最大值(精確到平方米).

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【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)若的圖象與直線交于,兩點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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【題目】如圖,多面體是正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)沿平面切除一部分所得,其中平面為原正三棱柱的底面,,點(diǎn)D的中點(diǎn).

(1)求證:平面;

(2)求二面角的平面角的余弦值.

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【題目】高爾頓板是英國生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型,在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木塊,小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ,前面擋有一塊玻璃,讓一個(gè)小球從高爾頓板上方的通道口落下,小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞,且等可能向左或向右滾下,最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).如圖所示的小木塊中,上面7層為高爾頓板,最下面一層為改造的高爾頓板,小球從通道口落下,第一次與第2層中間的小木塊碰撞,以的概率向左或向右滾下,依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞,最后掉入編號為12…,7的球槽內(nèi).例如小球要掉入3號球槽,則在前5次碰撞中有2次向右3次向左滾到第6層的第3個(gè)空隙處,再以的概率向左滾下,或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滾到第6層的第2個(gè)空隙處,再以的概率向右滾下.

(1)若進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn),求小球落入第7層第6個(gè)空隙處的概率;

(2)小明同學(xué)在研究了高爾頓板后,利用該圖中的高爾頓板來到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行盈利性“抽獎”活動,8元可以玩一次高爾頓板游戲,小球掉入X號球槽得到的獎金為元,其中.

i)求X的分布列:

ii)高爾頓板游戲火爆進(jìn)行,很多同學(xué)參加了游戲,你覺得小明同學(xué)能盈利嗎?

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【題目】在下列命題中:①在中,,,,則解三角形只有唯一解的充要條件是:;②當(dāng)時(shí),;③在中,若,則中一定為鈍角三角形;④扇形圓心角為銳角,周長為定值,則它面積最大時(shí),一定有;⑤函數(shù)的單增區(qū)間為,其中真命題的序號為_____.

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【題目】在某大學(xué)自主招生考生中,所有選報(bào)Ⅱ類志向的考生全部參加了數(shù)學(xué)與邏輯閱讀與表達(dá)兩個(gè)科目的考試,成績分為ABC,D,E五個(gè)等級.某考場考生兩科的考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示,其中數(shù)學(xué)與邏輯科目的成績?yōu)?/span>B的考生有20.

1)求該考場考生中閱讀與表達(dá)科目中成績?yōu)?/span>A的人數(shù);

2)若等級A,B,C,D,E分別對應(yīng)5分,4分,3分,2分,1.

i)求該考場考生數(shù)學(xué)與邏輯科目的平均分;

ii)若該考場共有7人得分大于7分,其中有210分,29分,38分,從這7中隨機(jī)抽取兩人,求兩人成績之和大于等于18的概率.

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