【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若的圖象與直線交于，兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】(1)當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2).

【解析】

(1)先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)，以及三種情況討論導(dǎo)函數(shù)符號，進(jìn)而確定對應(yīng)單調(diào)性；

(2)先構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)以及兩種情況討論函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性確定滿足條件的不等式，解得m的取值范圍，最后利用零點(diǎn)存在定理證明所求范圍恰好保證函數(shù)有兩個零點(diǎn).

(1)依題意，，.

①若，則，故在上單調(diào)遞減

②若，令，解得或.

（i）若，則，，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

（ii）若，則，，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

(2)令，則由題意可知有兩個大于1的實(shí)數(shù)根，顯然.

令，則.

若，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，

要滿足已知條件，必有此時無解；

若，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，

要滿足已知條件，必有解得.

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，故函數(shù)在上有一個零點(diǎn).

易知，且，下證：.

令，則，當(dāng)時，，

當(dāng)時，，故，即，

故，故，

又在上單調(diào)遞增，故在上有一個零點(diǎn).

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

練習(xí)冊系列答案
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（2）設(shè)，若且對恒成立，求的取值范圍；

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（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)（且）為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線，分別交軸于點(diǎn)，.試判斷是否為定值？若是求出該定值，若不是定值，請說明理由.

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(1)若進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn)，求小球落入第7層第6個空隙處的概率；

(2)小明同學(xué)在研究了高爾頓板后，利用該圖中的高爾頓板來到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行盈利性“抽獎”活動，8元可以玩一次高爾頓板游戲，小球掉入X號球槽得到的獎金為元，其中.

（i）求X的分布列：

（ii）高爾頓板游戲火爆進(jìn)行，很多同學(xué)參加了游戲，你覺得小明同學(xué)能盈利嗎？

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