已知函數(shù)f(x)的定義域是{x|x≠0}，對(duì)定義域內(nèi)任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，f(2)＝1.

(1)求證：f(x)是偶函數(shù)；

(2)求證：f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)；

(3)解不等式f(2x2－1)<2.


解：(1)證明：令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，

∴f(1)＝0.

令x1＝x2＝－1，得f(－1)＝0，

∴f(－x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)，

∴f(x)是偶函數(shù)．

(2)證明：設(shè)x2>x1>0，則f(x2)－f(x1)＝f(x1·)－f(x1)＝f(x1)＋f()－f(x1)＝f()．

∵x2>x1>0，∴>1，

∴f()>0，即f(x2)－f(x1)>0，

∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)．

(3)∵f(2)＝1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝2.

∵f(x)是偶函數(shù)，

∴不等式f(2x2－1)<2可化為f(|2x2－1|)<f(4)．

又∵f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)，

∴0<|2x2－1|<4，

解得－<x<0或0<x<，

即原不等式的解集為(－，0)∪(0，)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


某單位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，為了調(diào)查他們的身體狀況的某項(xiàng)指標(biāo)，需從他們中間抽取一個(gè)容量36樣本，則老年人、中年人、青年人分別各抽取的人數(shù)是（　�。�

　 A． 6，12，18 B． 7，11，19 C． 6，13，17 D． 7，12，17

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下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是(　　)

A．y＝x－1與y＝

B．y＝與y＝

C．y＝4lg x與y＝2lg x2 

D．y＝lg x－2與y＝

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已知函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋3－b(a>0)在區(qū)間[1，3]上有最大值5和最小值2，則a＋b＝(　　)

A．0  B．1  C．－1  D．2

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若f(x)＝－x2＋2ax與g(x)＝在區(qū)間[1，2]上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是(　　)

A．(－1，0)∪(0，1)  B．(－1，0)∪(0，1]

C．(0，1)  D．(0，1]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知偶函數(shù)f(x)滿足f(－1)＝0，且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則不等式f(2x－1)<0的解集為(　　)

AB．(0，1)

C．(－∞，1)  D．(0，)

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設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[－1，1)時(shí)，f(x)＝

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已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0，1]上有最大值2，則a的值為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


 已知函數(shù)f(x)＝|x2－4x＋3|.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并指出其增減性；

(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝mx有四個(gè)不相等的實(shí)根}．

難點(diǎn)突破

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