【題目】已知函數(shù),(其中a是常數(shù)).
(1)求過點與曲線相切的直線方程;
(2)是否存在的實數(shù),使得只有唯一的正數(shù)a,當時不等式恒成立,若這樣的實數(shù)k存在,試求k,a的值;若不存在.請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在,,
【解析】
(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義先求出切線斜率,進而可求切線方程,
(2)假設存在的正實數(shù),使得只有唯一的正數(shù),當時不等式恒成立,轉化為,分類討論求的最小值,令其大于等于零,利用導數(shù)求出k,a的值即可.
解:(1)設過點的直線與曲線相切于點,
因,則,
所以在處切線斜率為,
則在處切線方程為,
將代入切線方程得,所以,
所以切線方程為;
(2)假設存在實數(shù),使得只有唯一的正數(shù),當時不等式恒成立,即恒成立,
取,可知,
因為,,所以,令,
則,
由得.
(1)當時,
時,,則在上為減函數(shù),
時,,則在上為增函數(shù),
則,
即,令,
則,由,得,
時,,則在區(qū)間上為減函數(shù),
時,,則在區(qū)間上為增函數(shù),
因此存在唯一的正數(shù),使得,故只能.
所以,
所以,此時a只有唯一值.
(2)當時,,所以在上為增函數(shù),
所以,則,
故.
所以滿足的a不唯一
綜上,存在實數(shù),a只有唯一值,當時,恒有原式成立.
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【題目】吸煙有害健康,小明為了幫助爸爸戒煙,在爸爸包里放一個小盒子,里面隨機擺放三支香煙和三支跟香煙外形完全一樣的“戒煙口香糖”,并且和爸爸約定,每次想吸煙時,從盒子里任取一支,若取到口香糖則吃一支口香糖,不吸煙;若取到香煙,則吸一支煙,不吃口香糖,假設每次香煙和口香糖被取到的可能性相同,則“口香糖吃完時還剩2支香煙”的概率為( )
A.B.
C.D.
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【題目】齊王有上等,中等,下等馬各一匹;田忌也有上等,中等,下等馬各一匹.田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬;田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬;田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機各選一匹進行一場比賽,若有優(yōu)勢的馬一定獲勝,則齊王的馬獲勝的概率為( )
A. B. C. D.
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【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的兩個焦點分別為F1,F2,離心率為,過F1的直線l與橢圓C交于M,N兩點,且△MNF2的周長為8.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線y=kx+b與橢圓C分別交于A,B兩點,且OA⊥OB,試問點O到直線AB的距離是否為定值,證明你的結論.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角A-PB-C的余弦值.
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【題目】如圖,已知等腰梯形中,是的中點,,將沿著翻折成,使平面平面.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在線段上是否存在點P,使得平面,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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【題目】在直角坐標系中,以原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系.若曲線的極坐標方程為,點的極坐標為,在平面直角坐標系中,直線經過點,且傾斜角為.
(1)寫出曲線的直角坐標方程以及點的直角坐標;
(2)設直線與曲線相交于,兩點,求的值.
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【題目】在實數(shù)集R中,我們定義的大小關系“>”為全體實數(shù)排了一個“序”.類似地,我們在復數(shù)集C上也可以定義一個稱為“序”的關系,記為“>”.定義如下:對于任意兩個復數(shù):當且僅當“”或“”且“”.按上述定義的關系“>”,給出以下四個命題:
①若,則;
②若,則;
③若,則對于任意;
④對于復數(shù),若,則.
其中所有真命題的序號為______________.
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