Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，并且滿足a_n＞0，．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜測數(shù)列{a_n}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

解：（1）分別令n=1，2，3，得
∵a_n＞0，
∴a₁=1，a₂=2，a₃=3．
（2）由（1）的結(jié)論：猜想a_n=n
1）當(dāng)n=1時，a₁=1成立；
2）假設(shè)當(dāng)n=k時，a_k=k．
那么當(dāng)n=k+1時，
∵2S_k+1=a_k+1²+k+1，
∴2（a_k+1+S_k）=a_k+1²+k+1，
∴a_k+1²=2a_k+1+2S_k﹣（k+1）
=2a_k+1+（k²+k）﹣（k+1）=2a_k+1+（k²﹣1）
∴[a_k+1-（k+1）][a_k+1+（k﹣1）]=0．
∵a _k+1 +（k-1）＞0，
∴a _k+1=k+1，這就是說，當(dāng) n=k+1時也成立，故對于n∈N*，均有 a_n=n.