Question

設(shè)y=f（x）（x∈R）對(duì)任意實(shí)數(shù)x₁，x₂，滿足f（x₁）+f（x₂）=f（x₁•x₂）．求證：
（1）f（1）=f（-1）=0；
（2）f（x）是偶函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）可采用賦值法，令x₁=x₂=1，求得f（1）=0，令x₁=x₂=-1，求得f（-1）=0，問(wèn)題得以證明；
（2）可采用賦值法，令x₁=-1，x₂=x，得到f （-x）=f （-1）+f （x），再令x₁=1，x₂=-1，求得f（1），同理可求得f（-1），f（x）的奇偶性即可判斷．

解答： 證明：（1）∵f（x₁）+f（x₂）=f（x₁•x₂），
令x₁=x₂=1，
∴f（1）+f（1）=f（1），
∴f（1）=0，
令x₁=x₂=-1，
∴f（-1）+f（-1）=f（1），
∴f（-1）=0，
∴f（1）=f（-1）=0；
（2）：令x₁=1，x₂=-1，
則f（1）+f（-1）=f（-1），即f（1）=0，
再令x₁=x₂=-1得：f（-1）+f（-1）=f（1）=2f（-1）=0，
∴f（-1）=0，
令x₁=-1，x₂=x，得f（-1）+f（x）=f（-x），
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，著重考查學(xué)生靈活應(yīng)用賦值法研究函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題．