Question

如圖，平面四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，AB為球O的直徑，P為球面上一點(diǎn)，且PO⊥平面ABCD，NC=CD=DA=2，點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)．
（1）證明：平面PBC∥平面ODM；
（2）求平面PBC與平面PAD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（1）先根據(jù)平行線的傳遞性證明線面平行，再根據(jù)線面平行證明面面平行．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩平面的法向量所成的角或補(bǔ)角來(lái)求解．

解答： （1）證明：

AB為圓O直徑 BC=CD=DA

⇒BC=CD=DA=2，且AB∥CD，
∴CD

∥

.

BO，∴OBCD是平行四邊形，
∴BC∥OD，

AO=BO AM=PM

⇒

OM∥PB BC∥OD

⇒

OD∥平面PBC OM∥平面PBC

⇒平面ODM∥平面PBC．
∴平面PBC∥平面ODM．
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，BA為x軸，以平面ABCD內(nèi)過(guò)O點(diǎn)且垂直AB方向?yàn)閥軸，
OP方向?yàn)閦軸，建立如圖所示坐標(biāo)系．
則由題意知P（0，0，2），B（-2，0，0），A（2，0，0），
C（-1，-

3

，0），D（1，-

3

，0），…8分
由

PB

=(-2，0，2)，

BC

=(1，-

3

，0)，
設(shè)平面PBC的法向量為

n1

=(x，y，z)，
則

n1 • PB =-2x+2z=0 n2 • BC =x- 3 y=0

，
取x=

3

，得

n1

=（

3

，1，-

3

），
設(shè)平面PAD的法向量為

n2

=(x1，y1，z1)，
由

PA

=(2，0，-2)，

AD

=(-1，-

3

，0)，
得

n2 • PA =2x1-2z1=0 n2 • AD =-x1- 3 y1=0

，
取x₁=

3

，得

n2

=（

3

，-1，

3

），
∴|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

3-1-3

7 • 7

|=

1

7

，
∴平面PBC與平面PAD所成銳二面角的余弦值為

1

7

．…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面平行的判定，二面角及其度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力．