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如圖，四邊形PCBM是直角梯形，，∥，．又，，直線AM與直線PC所成的角為．

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值.

解析試題分析：方法1：（1）∵，∴平面ABC，∴．5分
（2）取BC的中點N，連MN．∵，∴，∴平面ABC．作
，交AC的延長線于H，連結MH．由三垂線定理得，∴為二面角的平面角．∵直線AM與直線PC所成的角為，∴在中，．
在中，．
在中，．
在中，．
在中，∵，∴．
故二面角的余弦值為．13分
方法2：（1）∵，∴平面ABC，∴．5分
（2）在平面ABC內，過C作BC的垂線，并建立空間直角坐標系如圖所示．設，則．．   5分
∵，
且，∴，得，∴． 8分
設平面MAC的一個法向量為，則由得得∴． 10分
平面ABC的一個法向量為． 12分
顯然，二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為．13分
考點：二面角的平面角，線線垂直
點評：解決的關鍵是借助于空間向量法或幾何性質法來得到證明和求解，屬于基礎題。

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，為圓的直徑，點、在圓上，，矩形所在的平面和圓所在的平面互相垂直，且，.

（1）求證：平面；
（2）設的中點為，求證：平面；
（3）設平面將幾何體分成的兩個錐體的體積分別為，，求．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在如圖的多面體中，⊥平面，,，，
，，，是的中點．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：；

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知,,現將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如圖乙），設點E、F分別為棱AC、AD的中點．

（1）求證：DC平面ABC；
（2）求BF與平面ABC所成角的正弦值；
（3）求二面角B－EF－A的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在棱長為2的正方體中，設是棱的中點.

⑴ 求證：；
⑵ 求證：平面；
⑶ 求三棱錐的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

 是雙曲線 上一點，、分別是雙曲線的左、右頂點，直線，的斜率之積為.

(1)求雙曲線的離心率；
(2)過雙曲線的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于，兩點，為坐標原點，為雙曲線上一點，滿足，求的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖所示，已知AC ⊥平面CDE, BD ∥AC , 為等邊三角形，F為ED邊上的中點,且，

（Ⅰ）求證：CF∥面ABE；
（Ⅱ）求證：面ABE ⊥平面BDE；
（Ⅲ）求該幾何體ABECD的體積。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點．

（Ⅰ）求證AM//平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A-DF-B的大��；
（Ⅲ）試在線段AC上確定一點P，使得PF與BC所成的角是60°．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知兩個正方形ABCD 和DCEF不在同一平面內，且平面ABCD ⊥平面DCEF，M，N分別為AB，DF的中點。

（1）求直線MN與平面ABCD所成角的正弦值；
（2）求異面直線ME與BN所成角的余弦值。

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