Question

如圖：在二面角α-l-β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD為矩形，p∈β，PA⊥α且PA=AD，M、N依次是AB、PC的中點(diǎn)，
（1）求二面角α-l-β的大�。�
（2）求異面直線(xiàn)MN與l所成的角的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,異面直線(xiàn)及其所成的角

專(zhuān)題：綜合題,空間角

分析：（1）連接PD，結(jié)合已知中ABCD為矩形，PA⊥α，我們可由三垂線(xiàn)定理得∠ADP為二面角α-l-β的平面角，由PA⊥α，且PA=AD，可判斷△PAD為等腰直角三角形，進(jìn)而得到二面角α-l-β的大小
（2）設(shè)F為DP中點(diǎn)．連接AF，F(xiàn)N，可證得FNMA為平行四邊形，可得MN∥AF，利用l⊥平面PAD，即可求出異面直線(xiàn)MN與l所成的角的大�。�

解答： 解：（1）連接PD，∵PA⊥α．∠ADC=90°
∴∠PDC=90°（三垂線(xiàn)定理）．
∠ADP為二面角α-l-β的平面角．
∴△PAD為等腰直角三角形．
∴二面角α-l-β為45°．
（2）設(shè)F為DP中點(diǎn)．連接AF，F(xiàn)N
則FN=

1

2

DC=AM．FN∥DC∥AM．
∴FNMA為平行四邊形
∴MN∥AF，
∵l⊥平面PAD，AF?平面PAD，
∴l(xiāng)⊥AF，
∴l(xiāng)⊥MN，
∴異面直線(xiàn)MN與l所成的角的大小為90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，異面直線(xiàn)及其所成的角，其中（1）的關(guān)鍵是證得∠ADP為二面角α-l-β的平面角，（2）的關(guān)鍵是證得MN∥AF．