【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，且過(guò)定點(diǎn)M（1， ）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線(xiàn)l：y=kx﹣ （k∈R）與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)在y軸上是否存在定點(diǎn)P，使得以弦AB為直徑的圓恒過(guò)P點(diǎn)？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)和△PAB的面積的最大值，若不存在，說(shuō)明理由．

【答案】
（1）解：由已知可得 ，

∴橢圓C的方程為


（2）解：由 得：9（2k2+4）x2﹣12kx﹣43=0①

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1、x2是方程①的兩根，

∴ ，

設(shè)P（0，p），則 ，

=

假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)P，使得以弦AB為直徑的圓恒過(guò)P點(diǎn)，

則 ，即 ．

即（18p2﹣45）k2+36p2+24p﹣39=0對(duì)任意k∈R恒成立，

∴ ，

此方程組無(wú)解，

∴不存在定點(diǎn)滿(mǎn)足條件


【解析】（1）運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)M滿(mǎn)足橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，設(shè)P（0，p），求得向量PA，PB和數(shù)量積，再由直徑所對(duì)的圓周角為直角，結(jié)合向量垂直的條件，即可得到結(jié)論．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某食品廠(chǎng)為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線(xiàn)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線(xiàn)上的件產(chǎn)品作為樣本，稱(chēng)出它們的重量（單位：克），重量的分組區(qū)間為，，…，，由此得到樣本的頻率分布方圖，如圖所示.

（1）在上述抽取的件產(chǎn)品中任取件，設(shè)為取到重量超過(guò)克的產(chǎn)品件數(shù)，求的概率；

（2）從上述件產(chǎn)品中任取件，設(shè)為取到重量超過(guò)克的產(chǎn)品件數(shù)，求的分布列與期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)g（x）= +lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，且θ∈（0，π），f（x）=mx﹣ ﹣lnx（m∈R）． （Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)h（x）= ，若在[1，e]上至少存在一個(gè)x0 ， 使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某地空氣中出現(xiàn)污染，須噴灑一定量的去污劑進(jìn)行處理.據(jù)測(cè)算，每噴灑1個(gè)單位的去污劑，空氣中釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間x（單位：天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的去污劑濃度為每次投放的去污劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和.由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中去污劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到去污作用.

（Ⅰ）若一次噴灑4個(gè)單位的去污劑，則去污時(shí)間可達(dá)幾天？

（Ⅱ）若第一次噴灑2個(gè)單位的去污劑，6天后再?lài)姙?/span> 個(gè)單位的去污劑，要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效去污，試求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn ， 且滿(mǎn)足S3= ，a6 ， 3a5 ， a7成等差數(shù)列． （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列bn= ，且數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和Tn ， 試比較Tn與 的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓C過(guò)點(diǎn)，且與圓M：關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．

求圓C的方程；

過(guò)點(diǎn)P作兩條相異直線(xiàn)分別與圓C相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且直線(xiàn)PA和直線(xiàn)PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線(xiàn)OP和AB是否平行？請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（Ⅲ）求證： （， 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)函數(shù)有最大值且最大值大于時(shí)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2018年10月24日，世界上最長(zhǎng)的跨海大橋一港珠澳大橋正式通車(chē)在一般情況下，大橋上的車(chē)流速度單位：千米時(shí)是車(chē)流密度單位：輛千米的函數(shù)當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到220輛千米時(shí)，將造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛千米時(shí)，車(chē)流速度為100千米時(shí)，研究表明：當(dāng)時(shí)，車(chē)流速度v是車(chē)流密度x的一次函數(shù)．

Ⅰ當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式；

Ⅱ當(dāng)車(chē)流密度x為多大時(shí)，車(chē)流量單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛時(shí)可以達(dá)到最大？并求出最大值．

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