Question

已知函數(shù)f（x）=sinωx+2

3

cos²

wx

2

+1-

3

（w＞0）的周期為π．
（1）求f（x）的解析式并求其單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將f（x）的圖象先向下平移1個單位長度；再向左平移μ（μ＞0）個單位．得到函數(shù)h（x）的圖象，若H（X）為奇函數(shù)，求μ的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的單調(diào)性,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡可得f（x）=2sin（ωx+

π

3

）+1，周期為π，即可解得ω的值，從而求得f（x）的解析式并求其單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）先由圖象變換的規(guī)律解得g（x）的解析式，再由奇函數(shù)的性質(zhì)得g（0）=0可求ϕ的最小值．

解答： 解：（1）f（x）=sinωx+2

3

cos²

wx

2

+1-

3

=sinωx+

3

+

3

cosωx+1-

3

=2sin（ωx+

π

3

）+1
∵T=

2π

ω

=π
∴ω=2．
故f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
故單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z．
（2）由（1）可知：將f（x）的圖象先向下平移1個單位得函數(shù)y=2sin（2x+

π

3

）的圖象，
再向左平移μ（μ＞0）個單位得g（x）的圖象，則g（x）=2sin[2（x+μ）+

π

3

]，若g（x）為奇函數(shù)，
則g（0）=2sin（2μ+

π

3

），即2μ+

π

3

=kπ，（k∈Z），又μ＞0，故μ的最小值為

π

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，為三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及奇函數(shù)的特點(diǎn)，屬于基本知識的考查．屬于中檔題．