Question

已知函數(shù)f（x）=

e-x-2(x≤0) 2ax-1(x＞0)

（a是常數(shù)且a＞0）．給出下列命題：
①函數(shù)f（x）的最小值是-1；
②函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)；
③函數(shù)f（x）在（-∞，0）的零點(diǎn)是（ln

1

2

，0）；
④若f（x）＞0，在[

1

2

，+∞）上恒成立，則a的取值范圍是（1，+∞）；
⑤對(duì)任意的x₁，x₂＜0且x₁≠x₂，恒有f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：畫出函數(shù)f（x）=

e-x-2(x≤0) 2ax-1(x＞0)

（a是常數(shù)且a＞0）的圖象：
①由圖只需說明在點(diǎn)x=0處函數(shù)f（x）的最小值是-1；
②只需說明函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性即可；
③函數(shù)f（x）在（-∞，0）的零點(diǎn)是ln

1

2

，
④只需說明f（x）＞0在[

1

2

，+∞）上恒成立，則當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)取得最小值，從而求得a的取值范圍是a＞1；
⑤已知函數(shù)在（-∝，0）上的圖象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取兩點(diǎn)連線應(yīng)在圖象的上方，故D正確．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

e-x-2(x≤0) 2ax-1(x＞0)

（a是常數(shù)且a＞0）的圖象如下所示：

①由圖只需說明在點(diǎn)x=0處函數(shù)f（x）的最小值是-1；故正確；
②由圖象說明函函數(shù)f（x）在R上不是單調(diào)函數(shù)；故錯(cuò)；
③函數(shù)f（x）在（-∞，0）的零點(diǎn)是ln

1

2

，故錯(cuò)
④只需說明f（x）＞0在[

1

2

，+∞）上恒成立，則當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)取得最小值，求得a的取值范圍是a＞1；故正確；
⑤已知函數(shù)函數(shù)在（-∝，0）上的圖象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取兩點(diǎn)連線應(yīng)在圖象的上方，
即f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

，故正確．
故答案為：①④⑤．

點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值是常用的方法，解答本題的關(guān)鍵是圖象法．