Question

對(duì)定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x），若存在閉區(qū)間[a，b]⊆D和常數(shù)C，使得對(duì)任意的x∈[a，b]都有f（x）=C，且對(duì)任意的x∉[a，b]都有f（x）＞C恒成立，則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的“U型”函數(shù)．
（1）求證函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函數(shù)；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）是（1）中的“U型”函數(shù)，若不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）對(duì)一切t∈R恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
（3）若函數(shù)g（x）=mx+

x2+2x+n

是區(qū)間[-2，+∞）上的“U型”函數(shù)，求實(shí)數(shù)m和n的值．

Answer 1

（1）當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）=x-1+3-x=2，
當(dāng)x∉[1，3]時(shí)，f（x）=|x-1|+|x-3|＞|x-1+3-x|=2，
故存在閉區(qū)間[a，b]=[1，3]⊆R和常數(shù)C=2符合條件，
所以函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函數(shù)；
（2）因?yàn)椴坏仁絴t-1|+|t-2|≤f（x）對(duì)一切x∈R恒成立，
所以|t-1|+|t-2|≤f（x）_min，
由（1）可知f（x）_min=（|x-1|+|x-3|）_min=2，
所以|t-1|+|t-2|≤2，
解得：

1

2

≤t≤

5

2

；
（3）由“U型”函數(shù)定義知，存在閉區(qū)間[a，b]⊆[-2，+∞）和常數(shù)c，使得對(duì)任意的x∈[a，b]，
都有g(shù)（x）=mx+

x2+2x+n

=c，即

x2+2x+n

=c-mx，
所以x²+2x+n=（c-mx）²恒成立，即x²+2x+n=m²x²-2cmx+c²對(duì)任意的x∈[a，b]成立，
所以

m2=1 -2cm=2 c2=n

，所以

m=1 c=-1 n=1

或

m=-1 c=1 n=1

，
①當(dāng)

m=1 c=-1 n=1

時(shí)，g（x）=x+|x+1|．
當(dāng)x∈[-2，-1]時(shí)，g（x）=-1，當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，g（x）=2x+1＞-1恒成立．
此時(shí)，g（x）是區(qū)間[-2，+∞）上的“U型”函數(shù)；
②當(dāng)

m=-1 c=1 n=1

時(shí)，g（x）=-x+|x+1|．
當(dāng)x∈[-2，-1]時(shí)，g（x）=-2x-1≥1，當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，g（x）=1．
此時(shí)，g（x）不是區(qū)間[-2，+∞）上的“U型”函數(shù)．
綜上分析，m=1，n=1為所求；