Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2 2

3

，其左、右頂點分別為A₁（-3，0），A₂（3，0）．一條不經過原點的直線l：y=kx+m與該橢圓相交于M、N兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若m+k=0，直線A₁M與NA₂的斜率分別為k₁，k₂．試問：是否存在實數λ，使得k₁+λk₂=0？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）利用已知條件求出a=3，通過離心率求出c，然后求出b，即可得到橢圓的方程．
（Ⅱ）解法一：由m+k=0，直線l：y=kx-k，直線恒過定點D（1，0），設直線A₁M的方程為y=k₁（x+3），直線NA₂的方程為y=k₂（x-3）．qc M，N的坐標，由M，D，N三點共線，推出k₂=2k₁，得到k1+(-

1

2

)k2=0，然后判斷存在λ=-

1

2

使得使得k₁+λk₂=0．
解法二：由m+k=0知，m=-k，直線l過定點D（1，0），當直線l的傾斜角α→∞時，M→(1，

2 2

3

)，N→(1，-

2 2

3

)，推出k1→

2

6

，k2→

2

3

，λ→

-k1

k2

=-

1

2

，猜想：存在λ=-

1

2

滿足條件，下面證明猜想正確 聯(lián)立方程組

y=k(x-1) x2 9 +y2=1

，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），通過韋達定理求出k₁，k₂，然后驗證是否存在實數λ，使得k₁+λk₂=0．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由題設可知a=3
因為e=

2 2

3

即

c

a

=

2 2

3

，所以c=2

2

．又因為b²=a²-c²=9-8=1
所以橢圓C的方程為：

x2

9

+y2=1…（4分）
（Ⅱ）解法一：
由m+k=0知：直線恒過定點D（1，0），…（5分）
設直線A₁M的方程為y=k₁（x+3），直線NA₂的方程為y=k₂（x-3）．
聯(lián)立方程組

y=k1(x+3) x2 9 +y2=1

，消去y得：(1+9k12)x2+54k1x+81k12-9=0
解得點M的坐標為M(

3-27k12

1+9k12

，

6k1

1+9k12

)．            …（8分）
同理，可解得點N的坐標為N(

27k22-3

1+9k22

，

-6k2

1+9k22

)…（9分）
由M，D，N三點共線，有

6k1 1+9k12

3-27k12 1+9k12 -1

=

- 6k2 1+9k22

27k22-3 1+9k22 -1

，…（10分）
化簡得（k₂-2k₁）（18k₁k₂+2）=0．
由題設可知k₁與k₂同號，所以k₂=2k₁，即．k1+(-

1

2

)k2=0…（12分）
所以，存在λ=-

1

2

使得使得k₁+λk₂=0．…（13分）
解法二：
由m+k=0知，m=-k，
直線l方程化為y=k（x-1），所以l過定點D（1，0）…（5分）
當直線l的傾斜角α→∞時，M→(1，

2 2

3

)，N→(1，-

2 2

3

)
此時k1→

2

6

，k2→

2

3

，λ→

-k1

k2

=-

1

2

由此可猜想：存在λ=-

1

2

滿足條件，下面證明猜想正確    …（7分）
聯(lián)立方程組

y=k(x-1) x2 9 +y2=1

⇒(1+9k2)x2-18k2x+9k2-9=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=

18k2

1+9k2

，x1•x2=

9k2-9

1+9k2

…（10分）
∵k1=

y1

x1+3

，k2=

y2

x2-3

所以λ=-

1

2

時，k1+λk2=

y1

x1+3

-

1

2

y2

x2-3

=

2k(x1-1)(x2-3)-k(x2-1)(x1+3)

2(x1+3)(x2-3)

k(x1x2-5x2-5x1+9)

2(x1+3)(x2-3)

=

k( 9k2-9 1+9k2 -5 18k2 1+9k2 +9)

2(x1+3)(x2-3)

=

k(9k2-9-90k2+9+81k2)

2(1+9k2)(x1+3)(x2-3)

=0…（12分）
由此可得猜想正確，因此，存在λ=-

1

2

使得k₁+λk₂=0成立      …（13分）

點評：本題考查直線與橢圓方程的綜合應用，考查存在性問題的處理方法，橢圓方程的求法，韋達定理的應用，三點共線的充要條件，注意方法二中，極限思想的應用，考查分析問題解決問題的能力．