Question

圓O的半徑為1，P為圓周上一點(diǎn)，現(xiàn)將如圖放置的邊長為1的正方形（實線所示，正方形的頂點(diǎn)A與點(diǎn)P重合）沿圓周逆時針滾動，點(diǎn)A第一次回到點(diǎn)P的位置，則點(diǎn)A走過的路徑的長度為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：弧長公式

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由圖可知：圓O的半徑r=1，正方形ABCD的邊長a=1，以正方形的邊為弦時所對的圓心角為

π

3

，正方形在圓上滾動時點(diǎn)的順序依次為如圖所示，當(dāng)點(diǎn)A首次回到點(diǎn)P的位置時，正方形滾動了3圈共12次，分別算出轉(zhuǎn)4次的長度，即可得出．

解答： 解：由圖可知：∵圓O的半徑r=1，正方形ABCD的邊長a=1，
∴以正方形的邊為弦時所對的圓心角為

π

3

，
正方形在圓上滾動時點(diǎn)的順序依次為如圖所示，
∴當(dāng)點(diǎn)A首次回到點(diǎn)P的位置時，正方形滾動了3圈共12次，
設(shè)第i次滾動，點(diǎn)A的路程為A_i，
則A₁=

π

6

×|AB|=

π

6

，
A₂=

π

6

××|AC|=

2 π

6

，
A₃=

π

6

×|DA|=

π

6

，
A₄=0，
∴點(diǎn)A所走過的路徑的長度為3（A₁+A₂+A₃+A₄）=

2+ 2

2

π．
故答案為：

(2+ 2 )π

2

．

點(diǎn)評：本題考查了正方形與圓的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長的計算公式，考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法，考查了分析問題與解決問題的能力，屬于難題．