Question

已知集合D={x|

24-x

x-9

＞0}，若a，b∈D且

1

a

+

1

2b

=

1

12

，則9^a•3^b的最小值為（　　）

• A、27
• B、3²⁷
• C、54
• D、3⁵⁴

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由

24-x

x-9

＞0，化為一元二次不等式，解得9＜x＜24．由于a，b∈D且

1

a

+

1

2b

=

1

12

，可得12＜b＜24，變形2a+b=

24b

b-6

+b=30+

144

b-6

+（b-6），利用基本不等式的性質(zhì)可得2a+b的取值范圍，即可得出9^a•3^b=3^2a+b的最小值．

解答： 解：由

24-x

x-9

＞0，化為（x-9）（x-24）＜0，解得9＜x＜24．
∵a，b∈D且

1

a

+

1

2b

=

1

12

，
∴9＜a=

12b

b-6

＜24，
∴12＜b＜24，
∴2a+b=

24b

b-6

+b=30+

144

b-6

+（b-6）≥30+2

144 b-6 •(b-6)

=54，當(dāng)且僅當(dāng)b=18時(shí)取等號．
則9^a•3^b=3^2a+b≥3⁵⁴．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查了分式不等式與一元二次不等式的解法、基本不等式的性質(zhì)、指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．