Question

已知圓O：x²+y²=4，若焦點在x軸上的橢圓過點P（0，-1），且其長軸長等于圓O的直徑，過點P作兩條互相垂直的直線l₁與l₂，l₁與⊙O交于A，B兩點，l₂交橢圓于另一點C．
（1）設(shè)直線l₁的斜率為k，求弦AB的長；
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：圓與圓錐曲線的綜合,直線與圓相交的性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意可得b=1，2a=4，即可得到橢圓的方程；由題意可知：直線l₁的斜率存在，設(shè)為k，則直線l₁的方程為y=kx+1．利用點到直線的距離公式和弦長公式即可得出圓心O到直線l₁的距離和弦長|AB|；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₀，y₀）．根據(jù)l₂⊥l₁，可得直線l₂的方程為x+ky-k=0，與橢圓的方程聯(lián)立即可得到點C的橫坐標，即可得出|PC|，即可得到三角形ABC的面積，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出其最大值．

解答： 解：（1）由題意，a=2，b=1，∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1；由題意可知：直線l₁的斜率存在，設(shè)為k，則直線l₁的方程為y=kx-1．
又圓O：x²+y²=4的圓心O（0，0）到直線l₁的距離d=

1

1+k2

．
∴|AB|=2

4-d2

=2

4k2+3 1+k2

．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀）．
∵l₂⊥l₁，∴直線l₂的方程為x+ky+k=0，與橢圓方程聯(lián)立聯(lián)立，
消去y得到（4+k²）x²+8kx=0，解得x₀=-

8k

4+k2

，
∴|PC|=

8 k2+1

4+k2

．
∴三角形ABC的面積S_△=

1

2

|AB|•|PD|=

8 4k2+3

4+k2

=

32

4k2+3 + 13 4k2+3

≤

32

2 13

=

16 13

13

，
當且僅當k=±

10

2

時取等號，
故所求直線l₁的方程為y=±

10

2

x-1，此時△ABC面積的最大值為

16 13

13

．

點評：本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系的綜合應用，同時考查了推理能力和計算能力及分析問題和解決問題的能力