Question

已知函數(shù)y=

2x+a

x+1

（a≠2），判斷該函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先判斷，再證明，證明分取值，作差，化簡(jiǎn)變形，判號(hào)，下結(jié)論五步．

解答： 解：當(dāng)a＜2時(shí)，函數(shù)y=

2x+a

x+1

在（-∞，-1），（-1，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)y=

2x+a

x+1

在（-∞，-1），（-1，+∞）上是減函數(shù)．證明如下：
任取x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
則y₁-y₂=

2x1+a

x1+1

-

2x2+a

x2+1

=

(2-a)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，
則當(dāng)a＜2時(shí)，

(2-a)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0，
則函數(shù)y=

2x+a

x+1

在（-1，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞2時(shí)，

(2-a)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＞0，
則函數(shù)y=

2x+a

x+1

在（-1，+∞）上是減函數(shù)；
同理，當(dāng)a＜2時(shí)，函數(shù)y=

2x+a

x+1

在（-∞，-1）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)y=

2x+a

x+1

在（-∞，-1）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的證明，一般有兩種方法，定義法，導(dǎo)數(shù)法．