【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)在上的最小值；

（Ⅲ）若函數(shù)，當(dāng)時， 的最大值為，求證： .

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題，

所以故， ，代入點(diǎn)斜式可得曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）由題

（1）當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增. 則函數(shù)在上的最小值是

（2）當(dāng)時，令，即，令，即

（i）當(dāng)，即時， 在上單調(diào)遞增，

所以在上的最小值是

（ii）當(dāng)，即時，由的單調(diào)性可得在上的最小值是

（iii）當(dāng)，即時， 在上單調(diào)遞減， 在上的最小值是

（Ⅲ）當(dāng)時，

令，則是單調(diào)遞減函數(shù).

因為， ，

所以在上存在，使得，即

討論可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時， 取得最大值是

因為，所以由此可證

試題解析：（Ⅰ）因為函數(shù)，且，

所以，

所以

所以，

所以曲線在處的切線方程是，即

（Ⅱ）因為函數(shù)，所以

（1）當(dāng)時， ，所以在上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)在上的最小值是

（2）當(dāng)時，令，即，所以

令，即，所以

（i）當(dāng)，即時， 在上單調(diào)遞增，

所以在上的最小值是

（ii）當(dāng)，即時， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以在上的最小值是

（iii）當(dāng)，即時， 在上單調(diào)遞減，

所以在上的最小值是

綜上所述，當(dāng)時， 在上的最小值是

當(dāng)時， 在上的最小值是

當(dāng)時， 在上的最小值是

（Ⅲ）因為函數(shù)，所以

所以當(dāng)時，

令，所以是單調(diào)遞減函數(shù).

因為， ，

所以在上存在，使得，即

所以當(dāng)時， ；當(dāng)時，

即當(dāng)時， ；當(dāng)時，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時， 取得最大值是

因為，所以

因為，所以

所以

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知數(shù)列的前項和滿足，.數(shù)列的前項和為，則滿足的最小的值為______．

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【題目】已知函數(shù).

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（2）直線與交于，兩點(diǎn)，，若直線，的斜率之和為2，直線是否恒過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

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（1）求直線AS與平面ABCD所成角的正弦值；

（2）若線段CD上能找到點(diǎn)E，滿足AE⊥SE，則λ可能的取值有幾種情況？請說明理由；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)λ為所有可能情況的最大值時，線段CD上滿足AE⊥SE的點(diǎn)有兩個，分別記為E1，E2，求二面角E1－SB－E2的大小.

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【題目】在某校舉行的航天知識競賽中，參與競賽的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績分布在，分?jǐn)?shù)在以上（含）的同學(xué)獲獎. 按文理科用分層抽樣的方法抽取人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖（見下圖）.

（I）在答題卡上填寫下面的列聯(lián)表，能否有超過的把握認(rèn)為“獲獎與學(xué)生的文理科有關(guān)”？

文科生

理科生

合計

獲獎

不獲獎

合計

（II）將上述調(diào)査所得的頻率視為概率，現(xiàn)從該校參與競賽的學(xué)生中，任意抽取名學(xué)生，記“獲獎”學(xué)生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附表及公式：，其中.

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【題目】已知，是動點(diǎn)，以為直徑的圓與圓：內(nèi)切.

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（2）若，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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【題目】隨著銀行業(yè)的不斷發(fā)展，市場競爭越來越激烈，顧客對銀行服務(wù)質(zhì)量的要求越來越高，銀行為了提高柜員員工的服務(wù)意識，加強(qiáng)評價管理，工作中讓顧客對服務(wù)作出評價，評價分為滿意、基本滿意、不滿意三種．某銀行為了比較顧客對男女柜員員工滿意度評價的差異，在下屬的四個分行中隨機(jī)抽出40人（男女各半）進(jìn)行分析比較．對40人一月中的顧客評價“不滿意”的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計，按男、女分為兩組，再將每組柜員員工的月“不滿意”次數(shù)分為5組：，，，，，得到如下頻數(shù)分布表．

分組

女柜員

2

3

8

5

2

男柜員

1

3

9

4

3

（1）在答題卡所給的坐標(biāo)系中分別畫出男、女柜員員工的頻率分布直方圖；分別求出男、女柜員員工的月平均“不滿意”次數(shù)的估計值，試根據(jù)估計值比較男、女柜員員工的滿意度誰高？

（2）在抽取的40名柜員員工中：從“不滿意”次數(shù)不少于20的員工中隨機(jī)抽取3人，并用X表示隨機(jī)抽取的3人中女柜員工的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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