【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD= AD.
(1)求證:平面PAB⊥平面PDC
(2)在線段AB上是否存在一點(diǎn)G,使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值為 .若存在,求 的值;若不存在,說明理由.

【答案】
(1)證明:∵AD=2,∴ ,

∴PA2+PD2=AD2∴PD⊥AP,

又∵平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,

∴AB⊥平面PAD,又PD平面PAD,∴AB⊥PD,

又∵AP∩AP=A,且AP、AB平面PAB,

∴PD⊥平面PAB,

又PD平面PDC,∴平面PAB⊥平面PDC


(2)解:如圖,取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OF,

∵PA=PD,∴PO⊥AD.

又側(cè)面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,

∴PO⊥平面ABCD,

而O,F(xiàn)分別為AD,BD的中點(diǎn),∴OF∥AB,

又ABCD是正方形,∴OF⊥AD,

以O(shè)為原點(diǎn),射線OA,OF,OP為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,

則有A(1,0,0),C(﹣1,2,0),F(xiàn)(0,1,0),D(﹣1,0,0),P(0,0,1),

若在AB上存在點(diǎn)G,使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值為 ,連接PG、DG,

設(shè)G(1,a,0)(0≤a≤2),

=(1,0,1), =(﹣2,﹣a,0),

由(2)知平面PDC的一個法向量為 =(1,0,﹣1),

設(shè)平面PGD的法向量為 =(x,y,z).

,即 ,.

令y=﹣2,得 =(a,﹣2,﹣a),

∴|cos< , >|= = ,解得a= ,

∴a= ,此時 ,

∴在線段AB上存在點(diǎn)G(1, ,0)使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值為 ,


【解析】(1)推導(dǎo)出PD⊥AP,AB⊥PD,由此能證明平面PAB⊥平面PDC.(2)取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OF,PO⊥AD,以O(shè)為原點(diǎn),射線OA,OF,OP為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,由此利用向量法能求出在線段AB上存在點(diǎn)G(1, ,0)使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值為 ,
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.

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)求的方程;

)若直線,且有且只有一個公共點(diǎn)

)證明直線過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo);

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A.
B.
C.
D.

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